证明勾股定理多种常用方法3篇(勾股定理的证明方法最简单的6种)

时间：2022-10-24 10:29:00 综合范文

　　下面是范文网小编分享的证明勾股定理多种常用方法3篇(勾股定理的证明方法最简单的6种)，供大家参考。

证明勾股定理多种常用方法1

　　勾股定理：在Rt△ABC中，AB⊥AC，则：AB^2+AC^2=BC^2。该定理有不同的证明方法，现用一种方法证明如下：如图作4个与Rt△ABC全等的三角形。不失一般性地设AB>AC。很明显，4个直角三角形的`面积+小正方形的面积=大正方形的面积。 ∴4(AB×AC/2)+(AB-AC)^2=BC^2，∴2AB×AC+AB^2-2AB×AC+AC^2=BC^2， ∴AB^2+AC^2=BC^2。特别地，当AB=AC时，看成小正方形的面积为0，得：2AB×AC=BC^2，改写一下就有：AB×AC+AB×AC=BC^2，得：AB^2+AC^2=BC^2。 [说明：当Ac>AB时，将上述证明过程中的字母B、C调换一下就可以了。] 4

　　满意答案

　　最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边，c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分，将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为，直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。

　　下图是H.珀里加尔(Perigal)在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的，因为这种划分方法，labitibn Qorra(826～901)已经知道。(如：右图)下面的一种证法，是H•E•杜登尼(Dudeney)在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。

　　如右图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。

　　下图的证明方法，据说是L•达•芬奇(da Vinci, 1452～1519)设计的，用的是相减全等的证明法。

　　欧几里得(Euclid)在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。其证明的梗概是：

　　(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。

　　同理，(BC)2=KEBL

证明勾股定理多种常用方法2

　　(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

　　印度数学家兼天文学家婆什迦罗(Bhaskara，活跃于1150年前后)对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形;一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。事实上，

　　婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高，得两对相似三角形，从而有

　　c/b=b/m，

　　c/a=a/n,

　　cm=b2

　　cn=a2

　　两边相加得

　　a2+b2=c(m+n)=c2

　　这个证明，在十七世纪又由英国数学家J.沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现。

　　有几位美国总统与数学有着微妙联系。G•华盛顿曾经是一个著名的测量员。T•杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A.林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J.A.加菲尔德(Garfield, 1831～1888)，他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年，(当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统)给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面积得

　　即

　　a2+2ab+b2=2ab+c2

　　a2+b2=c2

证明勾股定理多种常用方法3

　　最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长玫秸?叫蜛BDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子：

　　4×(ab/2)+(b-a)2=c2

　　化简后便可得：

　　a2+b2=c2

　　亦即：

　　c=(a2+b2)(1/2)

　　稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。

　　再给出两种

　　1。做直角三角形的高，然后用相似三角形比例做出。

　　2。把直角三角形内接于圆。然后扩张做出一矩形。最后用一下托勒密定

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