下面是范文网小编收集的椭圆定义及标准方程教案模板共14篇 椭圆的定义与标准方程的教材分析，供大家参考。
椭圆定义及标准方程教案模板共1
《椭圆及其标准方程》说课教案
我说课的题目是全日制普通高级中学教科书（试验修订本.必修）《数学》第二册、第八章《圆锥曲线》、第一节《椭圆及其标准方程》。
一、概说：
1、教材分析：
椭圆及其标准方程是圆锥曲线的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，直接影响其他圆锥曲线的学习。是后继学习的基础和范示。同时，也是求曲线方程的深化和巩固。
2、教学分析：
椭圆及其标准方程是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材。本节课通过创设情景、动手操作、总结归纳，应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生掌握坐标法的规律，掌握数学学科研究的基本过程与方法。
3、学生分析：
高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。但高中生的逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待于训练。
基于上述分析，我采取的是教学方法是“问题诱导--启发讨论--探索结果”以及“直观观察--归纳抽象--总结规律”的一种研究性教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。
引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。
我设定的教学重点是：椭圆定义的理解及标准方程的推导。 教学难点是：标准方程的推导。
二、目标说明：
1、知识目标：掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程。
2、能力目标：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力。通过椭圆的标准方程的推导提高学生运用坐标法解决几何问题的能力。
3、思想目标：通过本次课的学习渗透数形结合和等价转化的思想方法，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。
三、过程说明：
1、新课导入：以影音文件“海尔波谱彗星的运行轨道示意图”导入，呈现方式具有新异性，激发学习兴趣；画板画图，增强动手操作意识，直观形象从而引入椭圆定义，进而研究椭圆标准方程。
2、新课呈现：
学生通过观看文件、动手操作，然后自己总结椭圆定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升了抽象概括的能力。然后，进行推导椭圆的标准方程，培养运算能力，进而探讨标准方程的特点。教师作为热烈讨论的平等氛围中的引导者，鼓励学生大胆探究、勇于创新，积极谈论和参与体验，培养严谨的逻辑思维，抽象概括的能力，渗透数学美学教育，掌握数形结合的重要数学思想，最后的几个探究性问题鼓励学生积极探索，敢于探究，转变学习方式。
3、巩固应用
根据定义及其标准方程，设计三组九道练习题，引导学生联系、思考、讨论、反馈、矫正，增强运用能力。
4、继续探究：
（1）观察椭圆形状，不同原因在哪里；
（2）改变绳长或变换焦点位置再画椭圆，发现关系； （3）用几何画板交流画图，观察形状变化； （4）如何描述形状变化？
引导学生探究欲望，开展研究性学习。
四、评价说明：
本节课的学生评价坚持形成性评价和阶段性评价相结合的原则。
（一）形成性评价：从操作能力、概括能力、学习兴趣、交流合作、情绪情感方面对学习效果进行过程评价。对出现问题的学生，教师指出其可取之处并耐心引导，这样有助于培养他们勇于面对挫折，持之以恒地科学探索精神；当学生做的精彩有创新，教师给予学生充分的鼓励，从而进一步激发学生创造的潜能，提高他们的创新能力。
（二）阶段性评价：从单元测试、期中测试等方面对学生的阶段性学习成果进行测试。评价结果以每次测试成绩和学生平时的综合表现为依据。同时要进行学生的自我评价以及教师对行动的综合性评价。
（三）教师自我反思评价：本课充分体现了“一个为本，四个调整”的新课程理念。
五、说课总结：
这节课使用计算机网络技术，展现知识的发生过程，是学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣。注重数学科学研究方法的掌握，是研究性教学的一次有益尝试。有利于改变学生的学习方式，有利于学生自主探究，有利于学生的实践能力和创新意识的培养
椭圆定义及标准方程教案模板共2
高中数学辅导网 教学手段：多媒体演示．
学生特点：本节课的教学对象为高中实验班学生，数学基础较好．
教学过程：
1、给出椭圆定义
由学生根据课前的预习叙述椭圆的定义：
1）椭圆的定义：
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于（或集合）叫做椭圆．F1， F2叫做椭圆的焦点；
）的点的轨迹叫做椭圆的焦距．
2）展示学生通过预习椭圆知识，结合椭圆的知识所作的“图形”，并介绍椭圆的做法，帮助同学了解椭圆的定义，同时引出椭圆标准方程
2、推导椭圆标准方程
推导方程：（以下方程推导过程由学生完成）
①建系：以
和
所在直线为轴，线段
坐标系；
的中点为原点建立直角
京翰教育1对1家教 ②设点：设是椭圆上任意一点，设
；
，则，③列式：由得
④化简：移项平方后得
，
；
整理得，
两边平方后整理得，由椭圆的定义知，
，即
，∴
，令
，
，其中
，代入上式，得，两边除以，得：（））
3．进一步认识椭圆标准方程
（掌握椭圆的标准方程，以及两种标准方程的区分）
（1）方程
（上，焦点坐标为
）叫做椭圆的标准方程．它表示焦点在轴
，
，其中
．
（2）方程方程（）也是椭圆的标准方程．它表示焦点，
，其中
． 在轴上，焦点坐标为
4．通过例题巩固椭圆的标准方程.例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上任意一点与两焦点的
距离的和等于8； (2) 两个焦点的坐标分别是(0,－4)，(0，4)，并且椭圆经过点
.5．再次展示学生所作椭圆，让学生利用椭圆方程和椭圆定义来判断所作的“椭圆”，并说明判断的依据，进一步椭圆定义和椭圆的标准方程.
6．小结：
这节课我们围绕椭圆及其标准方程研究了椭圆这几个方面的问题：
（1）椭圆的定义；
（2）椭圆的标准方程推导；
（3）利用椭圆的定义和标准方程研究曲线；
7．作业：
京翰教育1对1家教 （1）P42，练习A第1，2，3，4题；
（2）求演示图形5中椭圆的方
程.
京翰教育1对1家教 【知识点精析】 1.抛物线定义： 平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点
叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当01时为双曲线。
2.抛物线的标准方程有四种形式，参数式方程的几何性质（如下表）：
的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形
其中为抛物线上任一点。
3.对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。
的焦点
的直线与抛物线交于
，则有4.抛物线的焦点弦：设过抛物线，直线
与
的斜率分别为
，直线的倾斜角为，。
，，，，，说明：
1.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。
2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。
3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。 【解题方法指导】
例1.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆于，求此抛物线的方程。 解析：设所求抛物线的方程为设交点则∴点在，∴
上，
（y1>0） ，代入
在
得上
或
相交的公共弦长等∴或，∴或
。 ，经过
的直线交抛物线于
两点，点故所求抛物线方程为例2.设抛物线在抛物线的准线上，且
的焦点为
∥轴，证明直线经过原点。
解析：证法一：由题意知抛物线的焦点
故可设过焦点的直线的方程为
由，消去得 设，则
∵∥轴，且在准线上
∴点坐标为
于是直线的方程为
要证明注意到经过原点，只需证明，即证
经过原点。
知上式成立，故直线证法二：同上得。又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为。于是过原点。
证法三：如图，
，知三点共线，从而直线经
设轴与抛物线准线交于点则∥∥，连结
，过交
作于点
，，则
是垂足
又根据抛物线的几何性质，
∴因此点是的中点，即
与原点
重合，∴直线
经过原点
。
评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。
【考点突破】 【考点指要】
抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是５分。 考查通常分为四个层次：
层次一：考查抛物线定义的应用； 层次二：考查抛物线标准方程的求法； 层次三：考查抛物线的几何性质的应用；
层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。
解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。
【典型例题分析】 例3.（2006江西）设，则点答案：Ｂ
解析：解法一：设点坐标为
，则
，
解得或（舍），代入抛物线可得点
的坐标为
。
为坐标原点，的坐标为（ ）
为抛物线
的焦点，
为抛物线上一点，若解法二：由题意设，则，
即，，求得，∴点的坐标为。
评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。 例4.（2006安徽）若抛物线为（ ）
A.－2 C.－4 Ｄ.4 答案：D
的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值解析：椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则。
评述：本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。 【达标测试】 一.选择题： 1.抛物线的准线方程为
，则实数的值是（ ）
轴上，又抛物线上的点
，与焦点
的距离2.设抛物线的顶点在原点，其焦点在为4，则等于（ ）
或－4 C.－2 D.－2或2 3.焦点在直线
或或
上的抛物线的标准方程为（ ）
4.圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为（ ）
5.正方体上的动点，且点的轨迹是（ ）
的棱长为１，点到直线
的距离与点
在棱到点
上，且，点是平面
的距离的平方差为１，则点
A.抛物线 B.双曲线 C.直线 D.以上都不对 6.已知点是抛物线的距离为
上一点，设点，则
到此抛物线准线的距离为
，到直线
的最小值是（
）
已知点D.是抛物线
上的动点，点
在
轴上的射影是
，点
的坐标是，则的最小值是（ ）
的焦点的直线交抛物线于
两点，为坐标原点，则
的值8.过抛物线是（ ）
B.－12 D.－3 二.填空题： 9.已知圆10.已知物线的焦点分别是抛物线，则直线
和抛物线
的准线相切，则
的值是＿＿＿＿＿。
的垂心恰好是此抛
上两点，为坐标原点，若
的方程为＿＿＿＿＿。
11.过点（0，1）的直线与＿＿＿。 12.已知直线＿＿＿。 三.解答题： 与抛物线
交于两点，若的中点的横坐标为，则
交于两点，那么线段的中点坐标是＿＿13.已知抛物线顶点在原点，对称轴为抛物线的方程。 14.过点（4，1）作抛物线
轴，抛物线上一点到焦点的距离是5，求
的弦点在
，恰被所平分，求所在直线方程。
。 15.设点F（1，0），M点在轴上，⑴当点⑵设在轴上运动时，求
轴上，且
点的轨迹是曲线
的方程； 上的三点，且
的坐标。
成等差数列，当的垂直平分线与轴交于E（3，0）时，求点【综合测试】 一.选择题：
1.（2005上海）过抛物线
的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ） A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 2.（2005江苏）抛物线
上的一点
到焦点的距离为1，则点
的纵坐标是（ ）
，若它的一条准线与抛物线3.（2005辽宁）已知双曲线的中心在原点，离心率为的准线重合，则该双曲线与抛物线
的交点与原点的距离是（ ）
4.（2005全国Ⅰ）已知双曲线合，则该双曲线的离心率为（ ）
的一条准线与抛物线的准线重
的准线与轴交于点
，若过点
的直线与抛物线有5.（2004全国）设抛物线公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
6.（2006山东）动点取得最小值，则
是抛物线的最小值为（ ）
上的点，为原点，当时
7.（2004北京）在一只杯子的轴截面中，杯子内壁的曲线满足抛物线方程，在杯内放一个小球，要使球触及杯子的底部，则该球的表面积取值范围是（ ）
C.
D.的准线为，直线
与该抛物线相交于
的8.（2005北京）设抛物线点，则点及点
两到准线的距离之和为（ ）
二.填空题： 9.（2004全国Ⅳ）设到
是曲线
上的一个动点，则点
到点
的距离与点轴的距离之和的最小值是＿＿＿＿＿。
10.（2005北京）过抛物线为，则圆
的焦点
且垂直于轴的弦为
，以
为直径的圆与抛物线准线的位置关系是＿＿＿＿＿，圆的面积是＿＿＿＿＿。
的一条弦
，
，
所在11.（2005辽宁）已知抛物线直线与轴交点坐标为（0，2），则＿＿＿＿＿。 的焦点在直线
移到点
上，现将抛物线沿处，则平移后所12.（2004黄冈）已知抛物线向量进行平移，且使得抛物线的焦点沿直线得抛物线被轴截得的弦长
＿＿＿＿＿。 三.解答题：
13.（2004山东）已知抛物线C：与抛物线交于⑴若以弦两点。
，求
的值；
的轨迹方程。
的焦点为
，直线过定点
且为直径的圆恒过原点⑵在⑴的条件下，若，求动点
14.（2005四川） 如图，点，是抛物线
的焦点，点
为抛物线内一定点，点
为抛物线上一动的最小值为8。
⑴求抛物线方程； ⑵若为坐标原点，问是否存在点，若存在，求动点
，使过点
的动直线与抛物线交于
两点，且
的坐标；若不存在，请说明理由。
15.（2005河南）已知抛物线抛物线交于⑴求⑵求满足 ；
的点
的轨迹方程。
，
为顶点，，使得
为焦点，动直线
。
与两点。若总存在一个实数
椭圆定义及标准方程教案模板共3
高中数学第二册第八章第一节《椭圆及其标准方程》说课教案 我说课的题目是全日制普通高级中学教科书（试验修订本.必修）《数学》第二册、第八章《圆锥曲线》、第一节《椭圆及其标准方程》。
一、概说：
1、教材分析：
椭圆及其标准方程是圆锥曲线的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，直接影响其他圆锥曲线的学习。是后继学习的基础和范示。同时，也是求曲线方程的深化和巩固。
2、教学分析：
椭圆及其标准方程是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材。本节课通过创设情景、动手操作、总结归纳，应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生掌握坐标法的规律，掌握数学学科研究的基本过程与方法。
3、学生分析：
高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。但高中生的逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待于训练。
基于上述分析，我采取的是教学方法是“问题诱导--启发讨论--探索结果”以及“直观观察--归纳抽象--总结规律”的一种研究性教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。
引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。
我设定的教学重点是：椭圆定义的理解及标准方程的推导。
教学难点 是：标准方程的推导。
二、目标说明：
根据数学教学大纲要求确立“三位一体”的教学目标 。
1、知识与技能目标：
理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导。
2、过程与方法目标：注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重探索能力的培养。
3、情感、态度和价值观目标：
(1)探究方法激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。
(2)进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。
三、过程说明：
依据“一个为本，四个调整”的新的教学理念和上述教学目标 设计教学过程 。“以学生发展为本，新型的师生关系、新型的教学目标、新型的教学方式、新型的呈现方式”体现如下：
（一）对教材的重组与拓展：根据教学目标 ，选择教学内容，遵循拓展、开放、综合的原则。教材中对椭圆定义尽管很严密，但不够直观，所以增加了影音文件：海尔波谱彗星的运行轨道图，最后，让学生交流用几何画板画椭圆以及5个探究性问题，作为对教材的拓展。
（二）在教学过程 中的体现：
1、新课导入
：以影音文件“海尔波谱彗星的运行轨道示意图”导入
，呈现方式具有新异性，激发学习兴趣；画板画图，增强动手操作意识，直观形象从而引入椭圆定义，进而研究椭圆标准方程。
2、新课呈现：
学生通过观看文件、动手操作，然后自己总结椭圆定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升了抽象概括的能力。然后，进行推导椭圆的标准方程，培养运算能力，进而探讨标准方程的特点。教师作为热烈讨论的平等氛围中的引导者，鼓励学生大胆探究、勇于创新，积极谈论和参与体验，培养严谨的逻辑思维，抽象概括的能力，渗透数学美学教育，掌握数形结合的重要数学思想，最后的几个探究性问题鼓励学生积极探索，敢于探究，转变学习方式。
3、巩固应用
根据定义及其标准方程，设计三组九道练习题，引导学生联系、思考、讨论、反馈、矫正，增强运用能力。
4、继续探究：
（1）观察椭圆形状，不同原因在哪里；
（2）改变绳长或变换焦点位置再画椭圆，发现关系；
（3）用几何画板交流画图，观察形状变化； （4）如何描述形状变化？
引导学生探究欲望，开展研究性学习。
四、评价说明：
本节课的学生评价坚持形成性评价和阶段性评价相结合的原则。
（一）形成性评价：从操作能力、概括能力、学习兴趣、交流合作、情绪情感方面对学习效果进行过程评价。对出现问题的学生，教师指出其可取之处并耐心引导，这样有助于培养他们勇于面对挫折，持之以恒地科学探索精神；当学生做的精彩有创新，教师给予学生充分的鼓励，从而进一步激发学生创造的潜能，提高他们的创新能力。
（二）阶段性评价：从单元测试、期中测试等方面对学生的阶段性学习成果进行测试。评价结果以每次测试成绩和学生平时的综合表现为依据。同时要进行学生的自我评价以及教师对行动的综合性评价。
（三）教师自我反思评价：本课充分体现了“一个为本，四个调整”的新课程理念。
五、说课总结：
这节课使用计算机网络技术，展现知识的发生过程，是学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣。注重数学科学研究方法的掌握，是研究性教学的一次有益尝试。有利于改变学生的学习方式，有利于学生自主探究，有利于学生的实践能力和创新意识的培养。
椭圆定义及标准方程教案模板共4
圆锥曲线教案 抛物线的定义及其标准方程教案
教学目标
1．使学生理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程，并能初步利用它们解决有关问题．
2．通过教学，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力，既教猜想，又教证明．
3．培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题． 教学重点与难点
抛物线标准方程的推导及有关应用既是教学重点，又是难点． 教学过程
师：请同学们回忆椭圆和双曲线的第二定义．
生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨道，当e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线．
(计算机演示动画——图2-45)
(1)不妨设定点F到定直线l的距离为p．
(2)通过提问，让学生思考随着e的变化曲线的形状的变化规律．同时演示动画，让学生充分体会这种变化规律，为学生猜测e=1时曲线形状奠定基础．
师：那么，当e=1时，轨迹的位置和形状是怎样的？大胆地猜一猜！ (可请学生直接画出自己想象中曲线的形状，并利用投影展示．) 师：同学的猜测对不对呢？请同学看屏幕．(图2-46)
我们利用电脑精确地计算展示到定点F的距离和它到定直线距离的比为1的点的轨迹．
师：你见过这种曲线吗？(抛物线) 这就是我们这节课主要的研究对象． (师板书课题——抛物线的定义及其标准方程) 师：能否给抛物线下个定义？
生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是1的点的轨迹叫抛物线． 师：换句话说，就是与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
(投影)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
师：它的方程是什么样子呢？我们可以预先做一个估计．
如图2-47(1)，椭圆的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：
如图2-47(2)，双曲线的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：
在方程中都仅有x、y的二次项．
当e=1时，图形变成了开口的一支，从而丧失了关于y轴和原点的对称性，那么方程将会发生怎样的变化？
生：在方程中，一定会失去x2项，而且会出现x的一次项，(否则方程变成y2=b2，它表示直线．)所以方程应为Ay2+Bx+C=0的形式．
师：同学的猜测对不对呢？可否从理论上给予说明？ 生：建立直角坐标系． 师：如何建立？
学生甲：取经过定点F且垂直于定直线l的直线为x轴，设x轴与l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，设所求轨迹上一点坐标为M(x，y)．
师：点M满足什么条件？
生：到定点F的距离和到定直线l的距离的比是1． 师：这些条件能否转化成点M的坐标所满足的条件？
请同学化简上式，并通过投影展示演算过程，得：y2=2px．(1) 师：显然符合预想的形式．这个方程就叫作抛物线的标准方程． 在你以往的学习过程中，是否见到过类似这种形式的方程？ 生：二次函数的表达式．
师：若将x与y换个位置，它就是缺少一次项和常数项的二次函数，而曲线的形状也与抛物线完全一致．
师：由于抛物线开口方向的不同，共有4种不同情况．(计算机演示——图2-48)
师：请同学们写出其它3种情况下的标准方程、焦点坐标及准线方程，并说明理由．
观察图形，分辨这些图有何相同点和不同点．
生：共同点有：①原点在抛物线上．②对称轴为坐标轴．③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的四分之一． 不同点：①抛物线的焦点在x轴上时，方程左端是y2，右端是2px；当抛物线的焦点在y轴上时，方程左端是x2，右端是2py．②开口方向与x轴(y轴)正半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的正半轴上，方程右端取正号．
开口方向与x轴(y轴)负半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的负半轴上，方程右端取负号．
师：作为应用，请同学们看下面的例题．(展示投影) 例1 (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程； (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．
(2)分析 要求抛物线的标准方程，需①确定焦点在y轴的负半轴上，②求出p值．
例2 经过抛物线的焦点F，作一条直线垂直于x轴，和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2．求y1·y2的值．(计算机演示图形——图2-49)
师：首先弄清题意——条件有哪些？求什么？如何求？
(师板书)
故y1·y2=-p2．
师：还有其他办法吗？可否根据抛物线的定义？
生：如图2-50，根据抛物线的定义，|AF|=|BF|=|AM|=p，故y1·y2=-p2．
引申1：上例中若缺少“垂直于x轴”的条件，结果怎样？ (计算机演示动画——图2-51)
师：由于缺少垂直的条件，上例中的方法均不适用了． 怎样求交点坐标？
生：只需求直线方程与抛物线方程的公共解． 师：如何建立直线方程？ 生：利用点斜式．
(请同学自行写出解题过程，并利用投影仪展示解题过程．)
与抛物线方程联立，消去x可得：
引申2：以AB为直径的圆和准线具有怎样的位置关系？ (计算机演示动画——图2-52)
学生乙：以AB为直径的圆和准线相切．
师：能否给予证明？这作为思考题，请同学们课下完成． 师：请同学小结这节课的内容．
(抛物线的定义；p的几何意义；标准方程的4种形式．) 作业：
课本第98页习题八：1，2． 设计说明 1．关于教学过程
(1)由于抛物线的定义是本章的主要内容之一，因而将它作为教学目标之一． (2)MM教学方式在课堂教学中十分重视的一个方面就是合情推理方法的运用，逻辑思维能力的提高以及良好个性品质的培养．这对于提高学生的一般科学素养，形成和发展他们的数学品质，必将起着十分重要的作用，因而制定了目标2． (3)按照大纲的要求，在教学中培养学生运用数学思想方法解决有关问题，据此制定了目标3．
2．关于教学重点
为实现教学目标，把充分展现抛物线的定义及标准方程的探索、发现、推理的思维过程和知识形成的过程作为本节课的重点．
3．关于教学方法
按照MM教学方式“学习、教学、研究同步协调原则”和“二主方针”，运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，提高能力、增长才干，采用启发式．
4．关于教学手段
利用计算机辅助教学，演示图形的动态变化过程，弥补传统教学手段(如投影片、模型等)的不足之处．
(1)在新课引入部分，通过动画演示，使学生充分理解并且掌握3种圆锥曲线的统一定义，以及曲线形状变化与常数e的大小之间的关系．
(2)在抛物线定义的引入部分，利用电脑精确测算“两个距离”，以及动点M的任意选取，充分展示了满足条件的点的轨迹，避免了传统教学中此处的生硬与牵强．
(3)在例2及引申中也采用动画演示，弥补了投影片无法实现的动态效果． 5．关于教学过程
(1)复习内容的确定，旨在通过联想，为运用类比方法探索抛物线的定义奠定基础．
(2)通过引导学生观察椭圆、双曲线图形的变化规律，类比、联想、进而猜想出e=1时轨迹形状是抛物线，然后进行推理证明．即通过既教猜想、又教证明这一MM可控变量的操作，旨在揭示科学实验的规律，从而暴露知识的形成过程，体现科学发现的本质，培养学生合理推理能力、逻辑推理能力、科学的思维方式、实事求是的科学态度及勇于探索的精神等个性品质．
(3)学以致用是教学的主要目标之一，在例题求解过程中，运用波利亚一般解题方法，培养学生合理的思考问题，清楚地表达思想和有条不紊的工作习惯． (4)让学生小结，充分发挥学生的主观能动性，提高学生分析、概括、综合、抽象能力．
椭圆定义及标准方程教案模板共5
《椭圆及其标准方程》教案说明
四川省安岳中学
唐开兵
本教案依据全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)第八章圆锥曲线方程，前面的教案已经详述了本课所涉及到知识与方法，现对本教案做以下三点说明
一、本课内容的数学本质与教学目标定位
在第七章中，我们已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念已经有过一些了解，并求过简单曲线方程各利用其方程研究曲线的几何性质，本课在这基础上学习椭圆及其标准方程，通过这一课的学习，学生既进一步熟悉理解数形结合的基本思想，又进一步从圆拓展到椭圆乃至圆锥曲线等二次曲线的图像、方程与性质。
我们知道，教科书对三种圆锥曲线不平均使用力量，以椭圆为例交代求方程，利用方程讨论几何性质的一般方法，在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此，我们不仅要进一步巩固好求轨迹的一般方法，而且还要进一步利用这种方法来解决椭圆的轨迹问题，要回答出椭圆的轨迹方程，必追溯到椭圆的概念，这个概念又与已熟悉掌握的知识有何联系呢？这些内容恰好就是本课重点要突破掌握的内容。只有学好了本课，才能为椭圆的性质打下坚实的基础；只有学好了本课，才能对根式的化简有一个新的认识；只有学好了本课，才能深化已有知识；只有学习好了本课，才能为二次曲线铺平一条崭新的道路；也只有学好了本课，才能巩固数学学科知识与其他知识的联系。
随着20世纪以来数学飞速发展，数学的本质和应用都发生了巨大的变化，不仅发展了许多新领域，而且应用数学的问题都发生了巨大的变化，通过本课可以发现，古往今来，椭圆不仅应用了人们生活的各个领域中，而且在遥远的太空，大多数星球的轨迹几乎都是椭圆。嫦娥奔月过程中，嫦娥一号无论是绕地球的16小时轨道、24小时轨道、48小时轨道，还是环月12小时轨道、小时轨道的平面图都是椭圆，而且根据开普勒关于行星运动的三大定律的第一定律：所有行星的运动轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。这个定律也适用于卫星系统。更何况，嫦娥一号的这些轨道椭圆的一个焦点是地球或月球。
既然如此，本课的教学目标应定位在椭圆的概念及其相关的焦点、焦距上，并会推导椭圆的标准方程，还能灵活应用椭圆标准形式确定椭圆的标准方程，为进一步掌握椭圆及其他圆锥曲线的性质埋下伏笔。由此目标，不难得出本课的重难点及德育渗透点等。
二、借误导悟、粗中有细
前面不仅谈到了本课的承前启后的作用，还从数学学习思想上定位了本课的教学目标。
当然，任何一门学科，任何一课都有很多误区。关键是我们不能由误到误，以致于误入歧途，而要细心发现发掘，由误导悟，积累新知识，完善自己。
误区之一，漏掉关键字，误解椭圆的概念。椭圆的概念应特别强调这个常数要大于两定点间距离，采用对立面思考问题的思想，可以发现，其余两种情况的轨迹问题。这个地方可与学生在课堂中当堂探讨完成，也可留着课后思考题，在以后的课堂上补充归纳。
1 误区之二，建立直角坐标系，求椭圆的方程时，不利用建系的基本原则及椭圆本身具有的性质，而盲目建系导致运算量加大。这时，只要稍加引导点拨，即可走出误区。
误区之三，关于椭圆标准方程的误区。其
一、应理解何谓“标准”，就是焦点在坐标轴上，中心为坐标原点的椭圆的方程。其
二、椭圆的两种标准方程中，都有a>b>0，这一点可从b2=a2—c2中直观理解到。（b2=a2—c2易与常见Rt△中a2+b2=c2混淆，因此这个地方要反复让学生体会椭圆中这个特征三角形，让数(b2=a2—c2)与形(特征三角形)完美结合起来），其
三、椭圆的焦点总在长轴上，椭圆的标准方程中，若其焦点在x轴上，其焦点坐标为(?c,0)；椭圆的标准方程中，若其焦点在y轴上，其焦点坐标为(0,?c)。其
四、两个标准方程都可抽象成x2A?y2B?1(A?0,B?0)，据A、B的不同可得其焦点的位置，必要时还可逐渐引导对于Ax?By?C的方程，只要A、B、C同号，均可化为22x2CA?y2CB?1，逐步朝椭圆的标准方程靠近。
总之，“误”并不可怕，怕的是不“悟”而继续再“误”。
三、预期效果分析
本堂课依据全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)及其对应的教学大纲，以学生为主题，采用“学生自主学习+教师讲授引导”的教学方法，在已有知识基础上通过动手、演示构建新知、应用新知、强调新知。这样既符合课程标准要求，又切合学生实际。
教学过程中，学生首先对嫦娥一号充满了无限好奇，激起其求知欲，进而思考其如何成为月球的卫星。通过观看电影知道了嫦娥到月球，大部分时间在绕椭圆轨道运动。何谓椭圆呢？椭圆是怎样画出来的呢？与前面圆的知识有何联系呢？这一连串的问题从学生内心迫使自己“蠢蠢欲动”，于是从自己的动手动脑和教师多媒体演示中体会椭圆，自然而然建立起对椭圆概念的印象。学新概念避免不了“抠”关键点。于是一分为二，发散思考椭圆概念的另一面所涉及到的轨迹问题。概念固然重要，但仅仅停留在概念上是远远不够的。于是向概念深层次发掘探究椭圆的方程。于是在求轨迹的一般思想的引导下，向椭圆的方程方向研究去……
分析这一过程可以发现，除了开始有视频电影这一表面现象调动学生积极性以外，后面的各个环节都是教师与学生逐步走向学习的深渊。当集中精力学习完本课新知后，在练习中得心应手应用新知并归纳小结，岂不让学生有一种成就感！妙哉！！！
椭圆定义及标准方程教案模板共6
椭圆及其标准方程
教学目标 三维目标：
1，知识与技能：
（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程； （2）理解求曲线方程的一般方法.2，过程与方法：
（1）让学生体会椭圆做法，理解定义和标准方程研究过程，理解并掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，体会整个过程；
（2）掌握并提高运用解析几何一般方法解决问题的能力. （3）提高学生分组讨论、归纳、总结、分析解决问题的能力.3，情感态度与价值观：
通过探究学习，让学生体会数学来源于生活，感受感受探索知识获取知识的乐趣与喜悦,激发学生的学习兴趣；培养学生善于思考，乐于探索创新的科学精神，提高学生对数学美的理解。
学情分析：
在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的相关问题及解决解析几何问题的一些基本方法，如坐标法解决几何问题等。这为学习椭圆及其标准方程奠定了基础。经过一年半的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力、建模能力都有所提高，具有了探究学习本节内容的能力。但是椭圆较之于直线与圆明显难度有所加大。所以在本节课的学习过程中，椭圆定义的相关问题及椭圆方程的推导化简对学生将是一个挑战。
重点难点 教学重点：
重点：椭圆定义及椭圆标准方程 教学难点：
难点：椭圆标准方程的推导过程，求椭圆的标准方程有关问题。 4教学过程
【导入】导入
（一）情景导入设计通过实例认识椭圆 1，图片展示：行星轨道；
2，让学生列举现实中与椭圆有关的实例。
（汽车储油罐横截面的外轮廓线；汽车车标的轮廓线等）
（二）动手画椭圆
（师）问题一：圆是怎么定义的？ （生）答
（师）问题二：圆是到一个定点的距离等于定长的问题，那么如果到两个定点的距离之和为定值，会是怎样的图像呢？ 1.作图：
（教师指导学生动手）
请学生和同桌一起合作画图。 2.讨论探究
（师）问题：试着回答什么是椭圆？
由学生画图及演示椭圆的形成过程，引导学生分组讨论归纳定义。
【讲授】讲授
【练习】练习
【作业】作业 书面作业教材习题；
课外练习在网络上搜索有关椭圆的素材加深对椭圆的理解。
【测试】反思
整个教学过程由于课堂比较开放，学生在思考、讨论、计算过程中可能出现各种各样的问题，教师要认真组织教学过程，还有就是对课堂教学时间的把握，学生讨论的度要把握到位，讨论不充分，讨论没有意义，讨论太随意，又达不到预期的效果。这也就是这节课成败的关键所在。
椭圆定义及标准方程教案模板共7
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圆锥曲线教案 抛物线的定义及其标准方程教案
教学目标
1．使学生理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程，并能初步利用它们解决有关问题．
2．通过教学，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力，既教猜想，又教证明．
3．培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题． 教学重点与难点
抛物线标准方程的推导及有关应用既是教学重点，又是难点． 教学过程
师：请同学们回忆椭圆和双曲线的第二定义．
生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨道，当e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线．
(计算机演示动画——图2-45)
(1)不妨设定点F到定直线l的距离为p．
(2)通过提问，让学生思考随着e的变化曲线的形状的变化规律．同时演示动画，让学生充分体会这种变化规律，为学生猜测e=1时曲线形状奠定基础．
师：那么，当e=1时，轨迹的位置和形状是怎样的？大胆地猜一猜！
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(可请学生直接画出自己想象中曲线的形状，并利用投影展示．) 师：同学的猜测对不对呢？请同学看屏幕．(图2-46)
我们利用电脑精确地计算展示到定点F的距离和它到定直线距离的比为1的点的轨迹．
师：你见过这种曲线吗？(抛物线) 这就是我们这节课主要的研究对象．
(师板书课题——抛物线的定义及其标准方程) 师：能否给抛物线下个定义？
生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是1的点的轨迹叫抛物线． 师：换句话说，就是与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
(投影)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
师：它的方程是什么样子呢？我们可以预先做一个估计．
如图2-47(1)，椭圆的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：
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如图2-47(2)，双曲线的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：
在方程中都仅有x、y的二次项．
当e=1时，图形变成了开口的一支，从而丧失了关于y轴和原点的对称性，那么方程将会发生怎样的变化？
生：在方程中，一定会失去x2项，而且会出现x的一次项，(否则方程变成y2=b2，它表示直线．)所以方程应为Ay2+Bx+C=0的形式．
师：同学的猜测对不对呢？可否从理论上给予说明？ 生：建立直角坐标系． 师：如何建立？
学生甲：取经过定点F且垂直于定直线l的直线为x轴，设x轴与l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，设所求轨迹上一点坐标为M(x，y)．
师：点M满足什么条件？
生：到定点F的距离和到定直线l的距离的比是1． 师：这些条件能否转化成点M的坐标所满足的条件？
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请同学化简上式，并通过投影展示演算过程，得：y2=2px．(1) 师：显然符合预想的形式．这个方程就叫作抛物线的标准方程． 在你以往的学习过程中，是否见到过类似这种形式的方程？ 生：二次函数的表达式．
师：若将x与y换个位置，它就是缺少一次项和常数项的二次函数，而曲线的形状也与抛物线完全一致．
师：由于抛物线开口方向的不同，共有4种不同情况．(计算机演示——图2-48)
师：请同学们写出其它3种情况下的标准方程、焦点坐标及准线方程，并说明理由．
观察图形，分辨这些图有何相同点和不同点．
生：共同点有：①原点在抛物线上．②对称轴为坐标轴．③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的四分之一．
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不同点：①抛物线的焦点在x轴上时，方程左端是y2，右端是2px；当抛物线的焦点在y轴上时，方程左端是x2，右端是2py．②开口方向与x轴(y轴)正半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的正半轴上，方程右端取正号．
开口方向与x轴(y轴)负半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的负半轴上，方程右端取负号．
师：作为应用，请同学们看下面的例题．(展示投影) 例1 (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程； (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．
(2)分析
要求抛物线的标准方程，需①确定焦点在y轴的负半轴上，②求出p值．
例2 经过抛物线的焦点F，作一条直线垂直于x轴，和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2．求y1·y2的值．(计算机演示图形——图2-49)
师：首先弄清题意——条件有哪些？求什么？如何求？
(师板书)
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故y1·y2=-p2．
师：还有其他办法吗？可否根据抛物线的定义？
生：如图2-50，根据抛物线的定义，|AF|=|BF|=|AM|=p，故y1·y2=-p2．
引申1：上例中若缺少“垂直于x轴”的条件，结果怎样？ (计算机演示动画——图2-51)
师：由于缺少垂直的条件，上例中的方法均不适用了． 怎样求交点坐标？
生：只需求直线方程与抛物线方程的公共解． 师：如何建立直线方程？ 生：利用点斜式．
(请同学自行写出解题过程，并利用投影仪展示解题过程．)
与抛物线方程联立，消去x可得：
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引申2：以AB为直径的圆和准线具有怎样的位置关系？ (计算机演示动画——图2-52)
学生乙：以AB为直径的圆和准线相切．
师：能否给予证明？这作为思考题，请同学们课下完成． 师：请同学小结这节课的内容．
(抛物线的定义；p的几何意义；标准方程的4种形式．) 作业：
课本第98页习题八：1，2． 设计说明 1．关于教学过程
(1)由于抛物线的定义是本章的主要内容之一，因而将它作为教学目标之一． (2)MM教学方式在课堂教学中十分重视的一个方面就是合情推理方法的运用，逻辑思维能力的提高以及良好个性品质的培养．这对于提高学生的一般科学素养，形成和发展他们的数学品质，必将起着十分重要的作用，因而制定了目标2．
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(3)按照大纲的要求，在教学中培养学生运用数学思想方法解决有关问题，据此制定了目标3．
2．关于教学重点
为实现教学目标，把充分展现抛物线的定义及标准方程的探索、发现、推理的思维过程和知识形成的过程作为本节课的重点．
3．关于教学方法
按照MM教学方式“学习、教学、研究同步协调原则”和“二主方针”，运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，提高能力、增长才干，采用启发式．
4．关于教学手段
利用计算机辅助教学，演示图形的动态变化过程，弥补传统教学手段(如投影片、模型等)的不足之处．
(1)在新课引入部分，通过动画演示，使学生充分理解并且掌握3种圆锥曲线的统一定义，以及曲线形状变化与常数e的大小之间的关系．
(2)在抛物线定义的引入部分，利用电脑精确测算“两个距离”，以及动点M的任意选取，充分展示了满足条件的点的轨迹，避免了传统教学中此处的生硬与牵强．
(3)在例2及引申中也采用动画演示，弥补了投影片无法实现的动态效果． 5．关于教学过程
(1)复习内容的确定，旨在通过联想，为运用类比方法探索抛物线的定义奠定基础．
(2)通过引导学生观察椭圆、双曲线图形的变化规律，类比、联想、进而猜想出e=1时轨迹形状是抛物线，然后进行推理证明．即通过既教猜想、又教证明这一MM可控变量的操作，旨在揭示科学实验的规律，从而暴露知识的形成过程，体现科学发现的本质，培养学生合理推理能力、逻辑推理能力、科学的思维方式、实事求是的科学态度及勇于探索的精神等个性品质．
(3)学以致用是教学的主要目标之一，在例题求解过程中，运用波利亚一般解题方法，培养学生合理的思考问题，清楚地表达思想和有条不紊的工作习惯． (4)让学生小结，充分发挥学生的主观能动性，提高学生分析、概括、综合、抽象能力．
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椭圆定义及标准方程教案模板共8
椭圆及其标准方程
◆ 知识与技能目标
理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．
◆ 过程与方法目标 （1）预习与引入过程
当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第
一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第
二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程．
（2）新课讲授过程
（i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．
〖板书〗把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M时，椭圆即为点集P?M|MF1?MF2?2a．
（ii）椭圆标准方程的推导过程 提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第
一、充分利用图形的对称性；第
二、注意图形的特殊性和一般性关系．
无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．
设参量b的意义：第
一、便于写出椭圆的标准方程；第
二、a,b,c的关系有明显的几何意义．
??y2x2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程2?2?1?a?b?0?．
Ab（iii）例题讲解与引申
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是??2,0?，?2,0?，并且经过点?标准方程．
分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．引导学生用其他方法来解．
?53?,??，求它的?22?x2y2?53?另解：设椭圆的标准方程为2?2?1?a?b?0?，因点?,??在椭圆上，
Ab?22?9?25??1??2?a?102则?4a． ??4b??a2?b2?4?b?6?例2 如图，在圆x2?y2?4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？
分析：点P在圆x2?y2?4上运动，由点P移动引起点M的运动，则称点M是点P的伴随点，因点M为线段PD的中点，则点M的坐标可由点P来表示，从而能求点M的轨迹方程．
x2y2??1上动点，求线段AP中点M的轨迹方引申：设定点A?6,2?，P是椭圆
259程．
解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M?x,y?，P?x1,y1?；②（点与伴随点的关
?x1?2x?6系）∵M为线段AP的中点，∴?；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵
y?2y?2?1x?3?y?1?x12y12??1M??1，∴点的轨迹方程为??；④伴随轨迹表示的范围．
例3如图，设A，B的坐标分别为??5,0?，?5,0?．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为?224，求点M的轨迹方程． 9分析：若设点M?x,y?，则直线AM，BM的斜率就可以用含x,y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是?的关系式，即得到点M的轨迹方程．
解法剖析：设点M?x,y?，则kAM?4，因此，可以求出x,y之间9y?x??5?，x?5y?x?5?； x?5yy4???，化简即可得点M的轨迹方程． 代入点M的集合有x?5x?59kBM?
引申：如图，设△ABC的两个顶点A??a,0?，B?a,0?，顶点C在移动，且kAC?kBC?k，且k?0，试求动点C的轨迹方程． 引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当k值在变化时，线段AB的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．
◆ 情感、态度与价值观目标
通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量b?a2?c2的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：例1使用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，培养学生从定义的角度思考问题的好习惯；例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题；通过例3培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质．
◆能力目标
（1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．
（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．
（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力． （5） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．
练习：第45页
1、
2、
3、
4、作业：第53页
2、
3、
椭圆定义及标准方程教案模板共9
椭圆及其标准方程教案
湖北郧阳中学
梁学文
教学目标:
使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程
培养学生运用坐标解决集合问题的能力
培养学生发现规律、寻求规律、认识规律和用规律解决问题的能力 教学重点：
椭圆的定义及标准方程的推导 教学难点：
椭圆定义的理解 教学方法; 探索法 教具准备：
细绳一根 教学过程：
课前引入部分：
一、明确教学目标：告诉大家开始新的章节：圆锥曲线，思考：为什么这三类曲线叫做圆锥曲线？
二、教具演示：在黑板用细绳演示到定点距离和等于定长的点的轨迹，请同学帮忙。分三类：绳长小于两点距；等于；大于。
三、探索总结：师生共同归纳得到：绳长等于点距，得到线段；绳长大于点距，得到椭圆；绳长小于点距，不能得到图形。
定义及方程推导：
一、定义引导：
平面内到两定点F
1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．
学生开始只强调主要几何特征——到两定点F
1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：
(1)将穿有粉笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．
(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．即两定点的距离。
二、方程推导 1．标准方程的推导
由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．
如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．
(1)建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．
以两定点F
1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．
(2)点的集合
由定义不难得出椭圆集合为： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝． (3)代数方程
(4)化简方程 化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：
①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) ②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要
(a＞b＞0)．
关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．
示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2． 2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)
0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；
-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到． 教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
(三)例题与练习
例题
平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．
分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程． 解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F
1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
∵2a=10，2c=8．
∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，这个椭圆的标准方程是
请大家再想一想，焦点F
1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分
练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是
[
]
由学生口答，答案为D． (四)小结 1．定义：椭圆是平面内与两定点F
1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
3．图形如图2-
15、2-16．
4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．
五、布置作业
课后习题
椭圆定义及标准方程教案模板共10
椭圆及其标准方程教案
教学目标:
(一)知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程，会由标准方程求出椭圆的交点和焦距；
(二)能力目标：通过对椭圆概念的引入和标准方程的推导，培养学生分析、探索的能力，增强学生运用代数法解决几何问题的能力；
(三)情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神。
教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程的推导。 教学难点:椭圆标准方程的推导。
教学方法:探究式教学法（教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力。）
教具准备:自制教具(圆柱体、细绳)。
教学过程: (一)启发诱导，推陈出新
1、复习旧知识：拉直一根细线，一端固定，作一个圆，由此回忆圆的定义（到一点的距离等于定长的点的轨迹），圆的标准方程；
2、提出新问题：到两点的距离等于定长的点是什么轨迹呢？ 尝试作图；
3、创设情境，引出课题：“椭圆及其标准方程”。 (二)小组合作，形成概念
下面请同学们思考下面的问题：
1、在作图时,视笔尖为动点，线的两个固定的端点为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？
2、改变两端点之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗？
3、当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗？
学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程，得出这样三个结论：椭圆、线段、不存在。
归纳出椭圆的定义：平面内到两个定点F
1、F2的距离之和等于定长(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
(三)椭圆标准方程的推导
1、建立适当坐标系（让学生根据自己的经验来确定）
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；主要应使曲线对于坐标轴具有较多的对称性。
2、标准方程推导过程如下：
①建立直角坐标系：以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建
立如图所示的坐标系；
②确定点的坐标：设F1F2?2c，则F1??c，0?，F2?c，0?，设P?x，y?是椭圆上的任意一点；
③设定长为2a，由条件PF1?PF2?2a得
?x?c?2?y2??x?c?2?y2?2a；
x2y2④化简：得到椭圆方程为2?2?1。
Ab（通过学生自己动手推导方程是学生构建知识的一个过程。）
3、归纳方程特点，巩固上述知识。
4、延伸：①焦点在y轴上：F1?0，?c?，F2?0，c?
y2x2②方程：2?2?1
Ab③a，b，c的关系：b2?a2?c2，a?b?0，a?c?0
(四)例题讲解
例1：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离的和是10的动点的轨迹方程。
解：这个轨迹是椭圆，两个定点是焦点，用F
1、F2表示。
取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴。 ?2a?10，2c?8
?a?5，c?4，b2?a2?c2?52?42?9，即b?3
x2y2x2y2?这个椭圆的标准方程是2?2?1，即??1
（例1是巩固椭圆的定义及标准方程）
x2y2x2y2??1与椭圆c2:??1的焦点。
例2：分别求椭圆c1:433
4 解：?4?3
?椭圆c1的焦点在x轴上，椭圆c2的焦点在y 轴上
a2?4，b2?3，c?a2?b2?1
??1，?椭圆c1的两个焦点分别是0?和?1，0? ?0，是?1?和?0，1?。
椭圆c2的两个焦点分别（例2会由椭圆的标准方程求出椭圆的焦点坐标和焦距）
(五)课堂练习
课本P61 A 1 (2) (3) 2 (3) (4) (五)课堂小结
1、椭圆定义
2、焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的标准方程（结合图形，表述焦点坐标，焦距，系数的关系等）
3、考虑一下将椭圆平移到坐标轴任意位置时的坐标，留给同学们课后思考
4、布置作业：课本P61 A 1 (1) (4) 2 (1) (2)
椭圆定义及标准方程教案模板共11
高中数学第二册第八章第一节《椭圆及其标准方程》说课教案
今天我说课的题目是是《椭圆及其标准方程》，下面我对本课题进行分析。
一、教材分析：
《椭圆及其标准方程》是选自人教版高中数学第二册第八章第一节。本节共分两个课时。我说课的内容是第一课时。椭圆及其标准方程是圆锥曲线的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，直接影响其他圆锥曲线的学习。是后继学习的基础和范示。同时，也是求曲线方程的深化和巩固。 二．教学目标分析
1、知识与技能目标：
理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导。
2、过程与方法目标：注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重探索能力的培养。
3、情感、态度和价值观目标：
(1)探究方法激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。
(2)进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。
三、说教学的重难点
本着《椭圆及其标准方程》新课程标准，在吃透教材基础上，我确定了以下教学重点和难点。
教学重点是：椭圆定义的理解及标准方程的推导。
教学难点 是：标准方程的推导。
为了讲清教材的重难点，使学生能够达到本课题设定的教学目标，我再从教法我学法上谈谈。
四、学情分析：
高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。但高中生的逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待于训练。
基于上述分析，我采取的是教学方法是“问题诱导--启发讨论--探索结果”以及“直观观察--归纳抽象--总结规律”的一种研究性教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。
引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。
我具体来谈谈这一堂课的教学过程
2、教学分析：
椭圆及其标准方程是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材。本节课通过创设情景、动手操作、总结归纳，应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生掌握坐标法的规律，掌握数学学科研究的基本过程与方法。
五．教学过程
1、新课导入
：以影音文件“海尔波谱彗星的运行轨道示意图”导入
，呈现方式具有新异性，激发学习兴趣；画板画图，增强动手操作意识，直观形象从而引入椭圆定义，进而研究椭圆标准方程。
2、讲授新课：
学生通过观看文件、动手操作，然后自己总结椭圆定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升了抽象概括的能力。然后，进行推导椭圆的标准方程，培养运算能力，进而探讨标准方程的特点。教师作为热烈讨论的平等氛围中的引导者，鼓励学生大胆探究、勇于创新，积极谈论和参与体验，培养严谨的逻辑思维，抽象概括的能力，渗透数学美学教育，掌握数形结合的重要数学思想，最后的几个探究性问题鼓励学生积极探索，敢于探究，转变学习方式。
3、巩固应用
根据定义及其标准方程，设计两道例题，引导学生联系、思考、讨论、反馈、矫正，增强运用能力。
4、继续探究：
（1）观察椭圆形状，不同原因在哪里；
（2）改变绳长或变换焦点位置再画椭圆，发现关系；
（3）用几何画板交流画图，观察形状变化；
（4）如何描述形状变化？
引导学生探究欲望，开展研究性学习。
四、评价说明：
本节课的学生评价坚持形成性评价和阶段性评价相结合的原则。
（一）形成性评价：从操作能力、概括能力、学习兴趣、交流合作、情绪情感方面对学习效果进行过程评价。对出现问题的学生，教师指出其可取之处并耐心引导，这样有助于培养他们勇于面对挫折，持之以恒地科学探索精神；当学生做的精彩有创新，教师给予学生充分的鼓励，从而进一步激发学生创造的潜能，提高他们的创新能力。
（二）阶段性评价：从单元测试、期中测试等方面对学生的阶段性学习成果进行测试。评价结果以每次测试成绩和学生平时的综合表现为依据。同时要进行学生的自我评价以及教师对行动的综合性评价。
（三）教师自我反思评价：本课充分体现了“一个为本，四个调整”的新课程理念。
五、说课总结：
这节课使用计算机网络技术，展现知识的发生过程，是学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣。注重数学科学研究方法的掌握，是研究性教学的一次有益尝试。有利于改变学生的学习方式，有利于学生自主探究，有利于学生的实践能力和创新意识的培养。
椭圆定义及标准方程教案模板共12
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圆锥曲线教案 双曲线的定义及其标准方程教案
教学目标
1．通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，双曲线的标准方程的探索推导过程．
2．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生会合情猜想，进一步提高分析、归纳、推理的能力．
3．培养学生浓厚的学习兴趣，独立思考、勇于探索精神及实事求是的科学态度．
教学重点与难点
双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点．定义中的“差的绝对值”，a与c的关系的理解是难点．
教学过程
师：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？
(学生口述椭圆的两个定义，标准方程，教师利用投影仪把椭圆的定义、标准方程和图象放出来．) 师：椭圆的两个定义虽然都是由轨迹的问题引出来的，但所采用的方法是不同的．定义二是在认识上已经把椭圆和方程统一起来，在掌握了坐标法基础上利用坐标方法建立轨迹方程．这是通过方程去认识轨迹曲线．定义中设定的常数2a，|F1F2|=2c，它们之间的变化对椭圆有什么影响？
生：当a=c时，相应的轨迹是线段F1F2．当a＜c时，轨迹不存在．这是因为a、c的关系违背了三角形中边与边之间的关系．
师：如果把椭圆定义中的“平面内与两个定点F
1、F2的距离的和”改写为“平面内与两个定点F
1、F2的距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程又是怎样的呢？
(师生共同做一个简单的实验，请同学们把准备好的实验用具拿出来，一起做实验．教师把教具挂在黑板上，同时板书：平面内与两个定点F
1、F2的距离之差为常数的点的轨迹是什么曲线？边画、边操作、边说明．) 师：做法是：适当选取两定点F
1、F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段AF2(＜F1F2)，作为动点M到两定点F1和F2距离之3eud教育网 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ 3eud教育网 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！
差．而后把它固定在F2处．这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉锁的逐渐打开铅笔就徐徐画出一条曲线；同理可画出另一支．如图2-36．
师：通过这个实验，你们发现了什么？
生：所画的曲线不是椭圆，是两条相同的曲线，只是位置不同．其原因都是应用“平面内与两个定点的距离之差|MF1|-|MF2|(或|MF2|-|MF1|)是同一常数的条件画图的．
师：所画出图象与椭圆完全不同，能说出属于哪一类曲线吗？ 生：属于双曲型曲线．
师：很好！我们把这类曲线就叫做双曲线．我们思考以下几个问题： 1．|MF1|和|MF2|哪个大？
生：不一定．当点M在双曲线右支时，有|MF1|＞|MF2|，当点M在双曲线左支时，|MF1|＜|MF2|．
师：2．点M与点F
1、F2距离之差是否就应是|MF1|-|MF2|？ 生：未必是．也可以是|MF2|-|MF1|． 师：如何表示这两种情况？
生：若要同时表示这两种情况，正确的表示是应||MF1|-|MF2||．无论哪种情况总是成立的．
师：3．点M与点F
1、F2的距离之差的绝对值与|F1F2|的大小关系怎样？ 生：由三角形的两边之差小于第三边可知，应是小于|F1F2|．否则作不出图形．
在上述讨论的基础上，引导学生概括出双曲线的定义，教师板书课题．
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(学生试叙述，教师协助完成．)
一、双曲线的定义
平面内与两个定点F
1、F2的距离的差的绝对值是常数2a(a＞0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，这两个焦点间的距离叫做焦距，记作2c(c＞0)．
通过学生自己动手画图，得到了双曲线定义，同时进一步让学生在实验中观察定义中两个常数间大小关系对于动点M的轨迹的影响．激发学生探求知识的兴趣，调动学生的求知的渴望．师生共同归纳：
师：由定义知||MF1|-|MF2||=2a，|F1F2|=2c，并设动点为M，请大家讨论以下几个问题：
(1)当0＜a＜c时，动点M的轨迹是什么？ 学生略思考一下，回答出是双曲线． (2)当a=c时，动点M的轨迹是什么？
分析
若a=c，也就是||MF1|-|MF2||=2a=2c，如图2-37所示：
可以看出，动点M的轨迹是分别以点F
1、F2为端点，方向指向F1F2外侧的两条射线．
(3)当a＞c＞0时，动点M的轨迹是什么？
由前面归纳已知动点M的轨迹不存在．这是因为a、c的关系违背了三角形中两边之差小于第三边的性质．
二、双曲线的标准方程
师：现在来研究双曲线的方程．我们可以参照求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．首先建立直角坐标系，即以两定点连线为x轴，两定点的垂直平分线为y轴．然后，观察双曲线的特征，猜测双曲线方程的结构与椭圆方程的结构是否有类似之处？(如图2-38) 3eud教育网 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ 3eud教育网 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！
当点M移动到x轴上点A
1、A2时，如何求点A
1、A2的坐标？ 生：点A
1、A2是关于原点对称的，所以|A1A2|=|F1F2|-|F1A1|-|F2A2|=|F1F2|-2|F2A2|=|F1A2|-|F2A2|=2a．
所以点A1和A2的坐标分别是(-a，0)和(a，0)．
师：请同学们对照椭圆的定义及其标准方程推导过程导出双曲线的标准方程．
生：1．建立直角坐标系．
2．设双曲线上任意一点的坐标为M(x、y)，|F1F2|=2c，并设F1(-c，0)，F2(c，0)．
3．由两点间距离公式，得
4．由双曲线定义，得 |MF1|-|MF2|=±2a，即
5．化简方程
两边平方，得
化简得：
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两边再平方，整理得 (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．
(为使方程简化，更为对称和谐起见．) 由2c-2a＞0，即c＞a，所以c2-a2＞0． 设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式，得 b2x2-a2y2＝a2b2， 也就是
师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质．这一简化的方程称为双曲线的标准方程．
结合图形再一次理解方程中a＞b＞0的条件是不可缺少的．b的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有实际的几何意义．具有c2=a2+b2与椭圆中a2=b2+c2的不同之处．
师：与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在y轴上，这时双曲线的标准方程形式又怎样呢？我们可以从所画的图形上观察，对比来看一看互相间的转化．(图2-
39、图2-40)
生：从图形的对称来看，只要交换一下x轴、y轴的名称，然后逆时针翻转90°使之y轴向上、下，x轴水平放置即可得到焦点在y轴上的双曲线．
师：从方程上来分析，只要将方程(1)的x、y互换就可以得到它的方程
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此方程也是双曲线的标准方程． 师：如何记忆这两个标准方程？
生：双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相应的坐标轴为实轴，焦点在该轴上，且分母为a2．负项相应的坐标轴为虚轴，且分母为b2．
师：用一句话概括“以正负定实虚”．
三、举例
例1 已知两点F1(-4，0)和F2(4，0)，曲线上的点到两个焦点的距离之差为6，求曲线方程．
解
由焦点坐标可知c=4，2a=6， 所以a=3，而b2=c2-a2=16-9=7． 所以，所求的双曲线方程为
例2 求满足下列条件的双曲线方程 1．若a=4，b=3，焦点在x轴上；
解
(1)因为a=4，b=3，并且焦点在x轴上， 所以所求的双曲线方程为
(2)由题意设双曲线的标准方程为：
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所以代入双曲线方程得
所以
b2=16，
所以所求的双曲线的标准方程为
例1和例2可由学生自行解答，黑板上板演，并对照检查对错．
四、小结(师生共同参与完成) 1．知识方面
双曲线的定义和双曲线的标准方程；方程中的3个常数a、b、c间的关系：c2=a2+b2．
理解“以正负定实虚”的意义，会确定实轴、虚轴、焦点所在位置，会求双曲线的标准方程．
2．在教学中体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美．
五、作业：第89页习题七1，2．
六、课后思考题
2．结合图形的演示，试讨论||MF1|-|MF2||=2a，在2a趋近于零的过程中双曲线的变化趋势．
设计说明
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1．关于教学目标
(1)由于双曲线的定义及其标准方程是本章的重点之一，因而作为本节课的教学目标之一．
(2)MM教育方式的基本要求，其课堂教学要师生共同参与．每个环节都应给学生创设一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会．运用教具的演示，增强了数学教学的直观性，有助于培养学生观察、比较、分析、抽象、归纳及数学语言的运用能力．对全面提高学生素质起着十分重要作用，待此制定了教学目标2和3．
2．关于教学重点
为实现教学目标，把充分展现双曲线的定义及其标准方程的探索、发现、推理的思维过程和知识形成过程作为本节课的重点．
3．关于教学方法
按照MM教育方式“学习、教学、研究同步协调原则”和“二主方针”，在教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用．运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，使学生在开放、民主、愉悦和谐的教学氛围中获取新知识，提高能力，促进思维发展．因此，采用讨论式、启发式的教学方法．
4．关于教学过程
(1)利用学生已清楚的知识，转换条件提出问题，通过自己动手和联想，为类比地探索双曲线的定义奠定基础，最后推出双曲线的定义．
(2)在双曲线的标准方程的推导过程中，揭示科学实验的规律，巧妙地把学生从旧知识引向新知识，使知识过渡那么自然，学生学起来不感到困难．体现数学发现的本质，培养学生合情推理能力、逻辑思维能力、科学思维方式、实事求是的科学态度及勇于探索的精神．
(3)例题比较简单，由学生自行解答，同时由学生板演，在解题过程中培养学生合理地思考问题，清楚地表达思想和有条不紊的学习习惯．同时随时注意纠正学生在学习过程中的偏差．
(4)以学生为主，教师协助的方式进行本节课的小结，充分发挥学生的主观能动性，提高学生分析、概括、综合、抽象能力，注意把学生本节课所学到的新知识纳入学生已有知识体系中，使学生学习解析几何内容形成一个知识结构，对学生掌握解析几何的学习是大
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椭圆定义及标准方程教案模板共13
学 习 资 料
教学目标
1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；
2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；
3．通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；
4．通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；
5．通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识．
教学建议 教材分析 1． 知识结构
2．重点难点分析
重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法．
椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程．椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用．先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然．学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的．
（1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解．
另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于 现两种特殊情况，即：“当常数等于
．这样规定是为了避免出
时无轨
时轨迹是一条线段；当常数小于
以上资料均从网络收集而来
学 习 资 料
迹”．这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质．但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性．
（2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点：
①曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方．应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁．
②设椭圆的焦距为 ，椭圆上任一点到两个焦点的距离为 ，令 ，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会．
③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点．要注意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项．
④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程
“而没有证明，”方程 的解为坐标的点都在椭圆上”．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求．
（3）两种标准方程的椭圆异同点
中心在原点、焦点分别在 轴上， 轴上的椭圆标准方程分别为： ，
．它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有 ， ．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同．
椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大；
椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大．
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另外，形如 中，只要 ， ， 同号，就是椭圆方程，它可以化为
．
（4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法．例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆． 教法建议
（1）使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习兴趣．
为激发学生学习圆锥曲线的兴趣，体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。
例如，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道——椭圆上运行，太阳系的其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上．如果这些行星运动的速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行．人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理．相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动，不可能有任何其他的轨道．因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式，另外，工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线，都和圆锥曲线有关，圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的．
（2）安排学生课下切割圆锥形的事物，使学生了解圆锥曲线名称的来历
为了让学生了解圆锥曲线名称的来历，但为了节约课堂时间，教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等，以加深对圆锥曲线的认识．
（3）对椭圆的定义的引入，要注意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。
教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生先对椭圆有一个直观的了解。
教师可事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在
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黑板上画一个椭圆。画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解。
（4）将提出的问题分解为若干个子问题，借助多媒体课件来体现椭圆的定义的实质
在教学时，可以设置几个问题，让学生动手动脑，独立思考，自主探索，使学生根据提出的问题，利用多媒体，通过观察、实验、分析去寻找解决问题的途径。在椭圆的定义的教学过程中，可以提出“到两定点的距离的和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗”，让学生通过课件演示“改变焦距或定值”，观察轨迹的形状，从而挖掘出定义的内涵，这样就使得学生对椭圆的定义留下了深刻的印象。
（5）注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系
在讲解椭圆的定义时，就要启发学生注意椭圆的图形特征，一般学生比较容易发现椭圆的对称性，这样在建立坐标系时，学生就比较容易选择适当的坐标系了，即使焦点在坐标轴上，对称中心是原点（此时不要过多的研究几何性质）．虽然这时学生并不一定能说明白为什么这样选择坐标系，但在有了一定感性认识的基础上再讲解选择适当坐标系的一般原则，学生就较为容易接受，也向学生逐步渗透了坐标法．
（6）推导椭圆的标准方程时教师要注意化解难点，适时地补充根式化简的方法．
推导椭圆的标准方程时，由于列出的方程为两个跟式的和等于一个非零常数，化简时要进行两次平方，方程中字母超过三个，且次数高、项数多，教学时要注意化解难点，尽量不要把跟式化简的困难影响学生对椭圆的标准方程的推导过程的整体认识．通过具体的例子使学生循序渐进的解决带跟式的方程的化简，即：（1）方程中只有一个跟式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；（2）方程中有两个跟式时，需将它们放在方程的两边，并使其中一边只有一项．（为了避免二次平方运算）
（7）讲解了焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程，然后鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，加深对椭圆的认识．
（8）在学习新知识的基础上要巩固旧知识
椭圆也是一种曲线，所以第七章所讲的曲线和方程的知识仍然使用，在推导椭圆的标准方程中要注意进一步巩固曲线和方程的概念．对于教材上在推出椭圆的标准方程后，并没有证明所求得的方程确是椭圆的方程，要注意向学生说明并不与前面所讲的曲线和方程的概念矛盾，而是由于椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教材没有要求也没
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有给出证明过程，但学生要注意并不是以后都不需要证明，注意只有方程的化简是等价变形的才可以不用证明，而实际上学生在遇到一些具体的题目时，还需要具体问题具体分析．
（9）要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神。
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椭圆定义及标准方程教案模板共14
教 案
●教学目标
1．掌握椭圆的定义、方程及标准方程的推导； 2．掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距； 3．了解建立坐标系的选择原则.●教学重点
椭圆的标准方程及定义 ●教学难点
椭圆标准方程的推导 ●教学过程
Ⅰ.复习回顾：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ Ⅱ.讲授新课：
1．椭圆定义：
我们把平面内与两个定点F
1、F2的距离的和等于常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.思考1：这里的常数有什么限制吗？
提示：若常数=|F1F2|，即“2a=2c”时，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|即有“2a〈2c”时，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|” 即有“2a>2c” 2．椭圆的标准方程：
x2y2形式一：2?2?1(a?b?0)
Ab说明：此方程表示的椭圆焦点在x轴上，焦点是F1（－c，0）、F2（c，0），其中c2=a2－形式二：2?2?1(a?b?0)
Ab说明：此方程表示的椭圆焦点在y轴上，焦点是F1（0，－c），F2（0，c），其中c2=a2－b2.推导:课本92页（略）
思考2：两种椭圆的标准方程形式中的a、b、c始终满足什么样的条件？椭圆焦点在哪条轴上？ 提示：①两种形式中，总有a>b>0；并且始终满足c2=a2－b2；
②两种形式中，椭圆焦点始终在所对的分母大的那条轴上
3．例题讲解：
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点(?,).说明：例1（1）（2）要求熟练应用c2=a2－b2关系式求解椭圆标准方程.思考3：求椭圆标准方程最关键的两步骤是什么？ 提示： ①定位：确定焦点所在的坐标轴；
3522②定量：求a, b的值.
Ⅲ.课堂练习：
1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a= 10 ,b=1,焦点在x轴上；(2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5 (3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点 (4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3)；(5)a+b=10,c=25
2、下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是
[
]
3、课本P95练习2，
是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长．
●课堂小结
(1)椭圆标准方程的两种形式；a、b、c始终满足c2=a2－b2；
(2)椭圆标准方程焦点位置的判断方法：焦点在分母大的那个轴上
(3)求椭圆标准方程的方法主要是利用待定系数法：先判断出焦点所在的位置，再求a和b.（4）F
1、F2是椭圆的“定位”条件，决定了椭圆的类型，知道了焦点位置，椭圆的标准方程就确定了。若不知道了焦点的位置，椭圆的标准方程有两种形式。a，b确定了椭圆的形状和大小，是“定形”条件。
●课后作业：目标测试及第二教材
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