高考数学解答题前三题专题训练(数学高考解答题及答案)

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　　解答题前三题专题练习 1.已知数列 ? ?na 满足：

　　? ?*12 1n na a n n N?? ? ? ? ， 13 a ? . （1）证明数列? ?*n nb a n n N ? ? ? 是等比数列，并求数列 ? ?na 的通项； （2）设11n nnn na aca a???? ，数列 ? ?nc 的前 n 项和为 ? ?nS ，求证：

　　1nS ? . 2.继共享单车之后，又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相北上广深等十余大中城市，一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞 eQ”，每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1 元/公里+ 元/分钟”，李先生家离上班地点 10 公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计 40 次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：

　　时间（分钟） ? ? 15,25 ? ? 25,35 ? ? 35,45 ? ? 45,55 ? ? 55,65 次数 8 14 8 8 2 以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为? ? 15,65 分钟. （Ⅰ）若李先生上.下班时租用一次共享汽车路上开车不超过 45 分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设 ? 是 4 次使用共享汽车中最优选择的次数，求 ? 的分布列和期望. （Ⅱ）若李先生每天上下班使用共享汽车 2 次，一个月（以 20 天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）. 3.如图，在长方体1 1 1 1ABCD ABC D ? 中， 1, 2, , AB AD E F ? ? 分别为1, AD AA 的中点， Q 是 BC 上一个动点，且 ( 0) BQ QC ? ? ? ? . （1）当 1 ? ? 时，求证：平面 // BEF 平面1ADQ ；

　　（2）是否存在 ? ，使得 BD FQ ? ？若存在，请求出 ? 的值；若不存在，请说明理由 4.已知数列 ? ?na 中， 11 a ? ， ? ?*14nnnaa n Na?? ??. （1）求证：

　　1 13na? ??? ?? ?是等比数列，并求 ? ?na 的通项公式na ； （2）数列 ? ?nb 满足? ?14 13nn nnnb a?? ? ? ? ，求数列 ? ?nb 的前 n 项和nT . 5.某市在对高三学生的 4 月理科数学调研测试的数据统计显示，全市 名学生的成绩服从正态分布 ? ? ~ 110,144 X N ，现从甲校 100 分以上（含 100 分）的 200 份试卷中用系统抽样的方法抽取了 20 份试卷来分析，统计如下：

　　（注：表中试卷编号1 2 4 5 2028 n n n n n ? ? ? ? ? ? ） （1）列出表中试卷得分为 126 分的试卷编号（写出具体数据）； （2）该市又从乙校中也用系统抽样的方法抽取了 20 份试卷，将甲乙两校这 40 份试卷的得分制作了茎叶图（如图 6），试通过茎叶图比较两校学生成绩的平均分及分散程度（均不要求计算出具体值，给出结论即可）； （3）在第（2）问的前提下，从甲乙两校这 40 名学生中，从成绩在 140 分以上（含 140 分）的学生中任意抽取 3 人，该 3 人在全市前 15 名的人数记为 ? ，求 ? 的分布列和期望. （附：若随机变量 X 服从正态分布? ?2, N ? ? ，则 ( ) % P X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ( 2 2 ) % P X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ( 3 3 ) % P X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ） 6.如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AD BC ∥ ，2BAD?? ? ， 1 AB BC ? ? ， 2 AD? ， E是 AD 的中点， O 是 AC 与 BE 的交点.将 ABE △ 沿 BE 折起到1ABE △ 的位置，如图 2.

　　(1)证明：

　　CD? 平面1AOC ； (2)若平面1ABE ? 平面 BCDE ，求平面1ABC ? 与平面1ACD 夹角的余弦值. 7.已知数列 ? ?na 中， 10 a ? ， ? ?*12 ,n na a n n N?? ? ? . (1)令11n n nb a a?? ? ? ，求证：数列 ? ?nb 是等比数列； (2)求数列 ? ?na 的通项公式． (3) 令 ,3nnnac ? 当nc 取得最大项时，求 n 的值. 年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的 1000 人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：

　　(Ⅰ)估计该组数据的中位数、众数； (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 ( 210) N ? ， ， ? 近似为这 1000 人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求( 94) P Z ? ? ； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，有关部门为此次参加问卷调査的市民制定如下奖励方案：

　　(i)得分不低于 ? 可获赠 2 次随机话费，得分低于 ? 则只有 1 次； (ii)每次赠送的随机话费和对应概率如下：

　　赠送话费(单元：元) 10 20

　　概率 34 14 现有一位市民要参加此次问卷调查，记 X (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X 的分布列和数学期望. 附：

　　210 ? ， （若2( , ) Z N ? ? ，则 ( ) % P Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ( 2 2 ) % P Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ( 3 3 ) % P Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ） 9.如图，三棱柱1 1 1ABC ABC ? 中， 01 1 1 1 160 , 4 B A A C A A AA AC ? ? ? ? ? ? ， 2 AB? ， , P Q 分别为棱1 ,AA AC 的中点. （1）在平面 ABC 内过点 A 作 / / AM 平面1PQB 交 BC 于点 M ，并写出作图步骤，但不要求证明. （2）若侧面1 1ACC A ? 侧面1 1ABB A ，求直线1 1AC 与平面1PQB 所成角的正弦值. 10. 在 等 比 数 列 ? ?na 中 ， 已 知13, 1 a q ? ? 公比 ， 等 差 数 列 ? ?nb 满 足1 1 4 2 1 3 3. b a b a b a ? ? ? ， ， （Ⅰ）求数列 ? ?na 与 ? ?nb 的通项公式； （Ⅱ）记 ? ? 1nn n nc b a ? ? ? ，求数列 ? ?nc 的前 n 项和nS . 11.袋中有大小相同的 3 个红球和 2 个白球,现从袋中每次取出一个球,若取出的是红球，则放回袋中,继续取一个球,若取出的是白球,则不放回,再从袋中取一球,直到取出两个白球或者取球 5 次,则停止取球,设取球次数为 X ,

　　(1)求取球 3 次则停止取球的概率; (2)求随机变量 X 的分布列. 12.如图，四棱锥 P ABCD ? 的底面 ABCD 是直角梯形， // AD BC ， 3 6 AD BC ? ? ， 6 2 PB ? ，点 M 在线段 AD 上，且 4 MD? ， AD AB ? ， PA? 平面 ABCD . （1）求证：平面 PCM ? 平面 PAD ； （2）当四棱锥 P ABCD ? 的体积最大时，求平面 PCM 与平面 PCD 所成二面角的余弦值. 13.已知函数 ? ?233sin sin cos2f x x x x ? ? ? .（Ⅰ）求函数 ? ? f x 的单调递增区间； （Ⅱ）在△ ABC 中，角 , , A B C 的对边分别为 , , a b c ，若 A 为锐角且 ? ?32f A ? ， 4 b c ? ? ，求 a 的取值范围. 14.某印刷厂的打印机每 5 年需淘汰一批旧打印机并购买新机，买新机时，同时购买墨盒，每台新机随机购买第一盒墨 150 元，优惠 0 元；再每多买一盒墨都要在原优惠基础上多优惠一元，即第一盒墨没有优惠，第二盒墨优惠一元，第三盒墨优惠 2 元，……，依此类推，每台新机最多可随新机购买 25 盒墨．平时购买墨盒按零售每盒 200 元． 公司根据以往的记录，十台打印机正常工作五年消耗墨盒数如下表：

　　消耗墨盒数 22 23 24 25 打印机台数 1 4 4 1 以这十台打印机消耗墨盒数的频率代替一台打印机消耗墨盒数发生的概率，记 ? 表示两台打印机 5 年消耗的墨盒数． (1)求 ? 的分布列；(2)若在购买两台新机时，每台机随机购买 23 盒墨，求这两台打印机正常使用五年在消耗墨盒上所需费用的期望．

　　15.如图，在三棱柱1 1 1ABC ABC ? 中， D 为 BC 的中点， 0 0190 , 60 BAC A AC ? ? ? ? ， 12 AB AC AA ? ? ? . （1）求证：

　　1/ / AB 平面1ADC ； （2）当14 BC ? 时，求直线1BC 与平面1ADC 所成角的正弦值. 16.已知函数 ? ? ? ? sin ( 0, 0, )2f x A x A?? ? ? ? ? ? ? ? ? 的部分图像如图所示. （1）求 ? ? f x 的解析式； （2）方程 ? ?32f x ? 在 0,2? ? ?? ?? ?上的两解分别为1 2, x x ，求 ? ?1 2sin x x ? ， ? ?1 2cos x x ? 的 17.已知 6 只小白鼠有 1 只被病毒感染，需要通过对其化验病毒 DNA 来确定是否感染.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止.方案乙：将 6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒 DNA ，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒 DNA ，则在另外一组中逐个进行化验. （1）求依据方案乙所需化验恰好为 2 次的概率.

　　（2）首次化验化验费为 10 元，第二次化验化验费为 8 元，第三次及其以后每次化验费都是 6 元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要体验费多少元？ 18.如图，五面体 ABCDE 中，四边形 ABDE 是菱形， ABC ? 是边长为 2 的正三角形， 60 DBA ? ? ? ， 3 CD ? ． （1）证明：

　　DC AB ? ； （2）若点 C 在平面 ABDE 内的射影 H ，求 CH 与平面 BCD 所成的角的正弦值． 19.已知 ? ?? ?13sin cos cos2f x x x x ? ? ? ? ? ? ，其中 0 ? ? ，若 ? ? f x 的最小正周期为 4 ? .（1）求函数 ? ? f x 的单调递增区间； （2）锐角三角形 ABC 中， ? ? 2 cos cos a c B b C ? ? ，求 ? ? f A 的取值范围. 20.为吸引顾客，某公司在商场举办电子游戏活动.对于 , A B 两种游戏，每种游戏玩一次均会出现两种结果，而且每次游戏的结果相互独立，具体规则如下：玩一次游戏 A ，若绿灯闪亮，获得 50 分，若绿灯不闪亮，则扣除 10 分（即获得 10 ? 分），绿灯闪亮的概率为12；玩一次游戏 B ，若出现音乐，获得 60 分，若没有出现音乐，则扣除 20 分（即获得 20 ? 分），出现音乐的概率为25.玩多次游戏后累计积分达到 130 分可以兑换奖品. （1）记 X 为玩游戏 A 和 B 各一次所得的总分，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （2） 记某人玩 5 次游戏 B ，求该人能兑换奖品的概率. 21、如图，在四棱锥 S ABCD ? 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA? 底面 ABCD ， AB 垂直于 AD 和 BC ， 2 SA AB BC ? ? ? ， 1 AD? ， M 是棱 SB 的中点．

　　（Ⅰ）求证：

　　/ / AM 平面 SCD ； （Ⅱ）求平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值； （Ⅲ）设点 N 是直线 CD 上的动点， MN 与平面 SAB 所成的角为 ? ，求 sin ? 的最大值． 22.在 ABC ? 中，角 , , A B C 所对的边分别为 , , a b c ，且22 2 2sin 2cos cos A cos B AsinB C ? ? ? . （1）求角 C 的值；（2）若 ABC ? 为锐角三角形，且 3 c ? ，求 a b ? 的取值范围. 23.某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为 1,2,3,4,5 的五批疫苗，供全市所辖的 , , A B C 三个区市民注射，每个区均能从中任选其中一个批号的疫苗接种. （1）求三个区注射的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率； （2）记 , , A B C 三个区选择的疫苗批号的中位数为 X ，求 X 的分布列及期望. 24.如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆 O 上异于 , A B 的一个动点， DC 垂直于圆 O 所在的平面， / / , 1, 4 DC EB DC EB AB = = = . （1） 求证：

　　DE ACD ^ 平面 ；（2）若 AC BC = ，求平面 AED 与平面 ABE 所成的锐二面角的余弦值.

　　25、在 ABC ? 中 ，内角 , , A B C 的对边分别是 , , a b c ，满足 cos2 cos2 A B ?2cos( )cos( )6 6A A? ?? ? ? ． （1）求角 B 的值； （2）若 3 b ? 且 b a ? ，求12a c ? 的取值范围． 26.某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从 8 个试题中随机挑选出 4 个进行作答，至少答对 3 个才能通过初试．已知甲、乙两人参加初试，在这 8 个试题中甲能答对 6 个，乙能答对每个试题的概率为34，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响． （Ⅰ）求甲通过自主招生初试的概率； （Ⅱ）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大； （Ⅲ）记甲答对试题的个数为 X ，求 X 的分布列及数学期望． 27.在如图所示的几何体中，平面 ADNM ? 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是菱形，四边形ADNM 是矩形，π3DAB ? ? ，2 AB?， 1 AM ? ， E 是 AB 的中点． (Ⅰ)求证：

　　DE ? 平面 ABM ； (II)在线段 AM 上是否存在点 P ，使二面角 P EC D ? ? 的大小为π4？若存在，求出 AP 的长；若不存在，请说明理由． N M D C E B A

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