下面是范文网小编分享的数学归纳法证明共6篇 归纳法如何证明，供大家参阅。
数学归纳法证明共1
二用数学归纳法证明不等式
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.
教学难点：理解经典不等式的证明思路.
教学过程：
一、复习回顾：
1、数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位；
2、复习数学归纳法的定义和数学归纳法证题的基本步骤；
二、本节主要内容是用数学归纳法证明不等式；
在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：
（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）的变化，要认清不等式的结构
特征；
（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；
（3）活用起点的位置；
（4）有的题目需要先作等价变换。
三、例题
例1：比较n2与2n的大小，试证明你的结论.分析：将n?1,2,3,4,5,6代入比较后猜想结论，而后用数学归纳法加以证明
证明：见书P50 ；要点：(k?1)2?k2?2k?1?k2?2k?k?k2?3k?k2?k2?….
例2：证明不等式|sinn?|?n|sin?|(n?N?).
证明：（1）当n=1时，不等式显然成立；
（2）假设当n=k时不等式成立，即有：|sink?|?k|sin?|，则当n=k+1时，
|sin(k?1)?|?|sink?cos??cosk?sin?|?|sink?cos?|?|cosk?sin?|
?|sink?|?|cos?|?|cosk?|?|sin?|?|sink?|?|sin?|?k|sin?|?|sin?|?(k?1)|sin?|即当n=k+1时，原不等式也成立；
由（1）（2）知，不等式对一切正整数n均成立；
例3：证明贝努利（Bernoulli）不等式： (1?x)n?1?nx(x??1,x?0,n?N,n?1)
22证明：（1）当n=2时，由x?0得(1?x)?1?2x?x?1?2x，即不等式成立；
（2）假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即有(1?x)?1?kx：，则当n=k+1时，
(1?x)k?1k?(1?x)(1?x)k?(1?x)(1?kx)?1?x?kx?kx2?1?(k?1)x，
所以当n=k+1时，原不等式也成立；
由（1）（2）知，贝努利不等式成立；
注：事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数?仍有类似不等式成立.
当?是实数,且???或??0时,有(1?x)≥1??x(x??1)
?当?是实数,且0???1时,有(1?x)≤1??x(x??1) ?
例
4、证明：如果n(n为正整数)个正数a1,a2,a3???,an的乘积a1a2a3???an?1，那么它们的和
a1?a2?a3?????an?n；
证明：（1）当n=1时，a1=1，命题显然成立；
（2）假设当n=k时命题成立，即若k个正数a1,a2,a3???,ak的乘积a1a2a3???ak?1，那么他们的和
a1?a2?a3?????ak?k，
则当n=k+1时，有k+1个正数a1,a2,a3???,ak,ak?1满足乘积a1a2a3???akak?1?1， 若这k+1个正数相等，则它们都是1，其和为k+1，命题成立；
若这k+1个正数不全相等，则其中必有大于1的数，也有小于1的数，不妨设a1>1，a21，a2
a1?a2?a3?????ak?ak?1?k?1，即当n=k+1时，命题也成立；
由（1）（2）知，如果n(n为正整数)个正数a1,a2,a3???,an的乘积a1a2a3???an?1，那么它们的和
a1?a2?a3?????an?n；
思考：课本P53的探究
课堂练习：当n≥2时,求证
:1?
1
2??
?
证明：（1）当n?2时，左式?1?
?1?
22
??
2?右式，?当n?2时，不等式成立
（2）假设当n?k(
?2)时，不等式成立，即1?
??
?则当n?k?
1时，左式?1?
???
?
?
?
?
??右式
?当n?k?1时，不等式成立。
由（1）（2）可知，对一切n?N，且n?2，不等式都成立。
四、作业：课本P53 习题中1，2，3，4，5，6
数学归纳法证明共2
用数学归纳法证明：y
s
0xy
?
y0
?yks
y0s1
证明：当k?1时，y?ys
?x?y当k?2时，y??x?2y当k?3时，y??x?3y······当k?n时，y??x?ny当k?n?1时，y?
y0
sny0s3y0s2
01
要使
y0s
xy
?
成立
要使
y0s
xy
?
y0s2
成立
要使
y0s
xy
?
y0s3
成立
要使
y0s
xy
?
y0sn
成立
y0
sn?1
yy0y01y01y0
y?n0??????nyyn?1y
s?1sn?s1sns1
sysysy
?x??n?1?y?等式成立，即y?
y0s
xy
?
y0sk
数学归纳法证明共3
用数学归纳法证明
1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-n+2/2^/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-(n+2)/2^n.
1、当n=1时候，
左边=1/2;
右边=2-3/2=1/
2左边=右边，成立。
2、设n=k时候，有：
1/2+2/2^2+3/2^3+......+k/2^k=2-(k+2)/2^k成立，
则当n=k+1时候：有：
1/2+2/2^2+3/2^3+.....+k/2^k+(k+1)/2^(k+1)
=2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1)
=2-/2^(k+1)
=2-(k+3)/2^(k+1)
=2-/2^(k+1)
得证。
我觉得不是所有的猜想都非要用数学归纳法.
比如a1=2,a(n+1)/an=2,这显然是个等比数列
如果我直接猜想an=2^n,代入检验正确,而且对所有的n都成立,这时候干嘛还用数学归纳法啊.可是考试如果直接这样猜想是不得分的,必须要用数学归纳法证明.
我觉得如果是数列求和,猜想无法直接验证,需要数学归纳法,这个是可以接受的.但是上面那种情况,谁能告诉我为什么啊.我觉得逻辑已经是严密的了.
结果带入递推公式验证是对n属于正整数成立.
用数学归纳法,无论n=1,还是n=k的假设,n=k+1都需要带入递推公式验证,不是多此一举吗.我又不是一个一个验证,是对n这个变量进行验证,已经对n属于正整数成立了.怎么说就是错误的.
怎么又扯到思维上了,论严密性我比谁都在意,虽然是猜出来的,毕竟猜想需要,我的问题是--------这样的验证方式严不严密,在没有其他直接证明方法的情况下,是不是一定要用数学归纳法-------,并没有说这样就是对待数学的态度,没有猜想数学怎么发展.
这说明你一眼能看出答案，是个本领。
然而，考试是要有过程的，这个本领属于你自己，不属于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支会涨哪支会跌，但是不说出为什么，恐怕也不会令人信服。
比如你的问题，你猜想之后，代入检验，验证成功说明假设正确，这是个极端错误的数学问题，请记住：不是验证了一组答案通过，就说明答案是唯一的!比如x+y=2.我们都知道这是由无数组解的方程。但是我猜想x=y=1,验证成功，于是得到答案，你觉得对吗?所以你的证明方法是严格错误的!
你的这种思想本身就是经不起推敲的，学习数学不是会做多少题，而是给自己建立一套缜密的思维。你的这种思维在学习过程中是一个巨大的绊脚石，你现在做的就是假设某某正确，然后拼死维护它的正确，即使有不严密的地方你也视而不见。我说过，你有一眼看出答案的本领，这只是本领而已，填空题你有优势。但是如果你缺少了证明的思维，证明的本领，那你就成了一个扶不起来的阿斗。最可怕的是你的这个思想：褒一点说善于投机取巧，贬一点说，就是思维惰性，懒。
说说你的这道题，最简单的一道数列题，当然可以一下看出答案，而且你的答案是正确的。但是证明起来就不是那么容易了，答案不是看出来的，是算出来的。你的解法就是告诉大家，所有的答案都是看出来，然后代入证明的。假设看不出来怎么办?那就无所适从，永远也解不出来了!这就是你的做法带来的答案，你想想呢?你的这种做法有什么值得推广的?
OK,了解!
数学归纳法使被证明了的，证明数学猜想的严密方法，这是毋庸置疑的。在n=1时成立;假设n=k成立，则n=k+1成立。这两个结论确保了n属于N时成立，这是严密的。
你的例题太简单，直接用等比数列的定义就可以得到答案(首项和公比均已知)，不能说明你的证明方法有误。我的本意是：任何一种证明方法，其本身是需要严格证明的，数学归纳法是经过严格证明的;而你的证明方法：猜想带入条件，满足条件即得到猜想正确的结论。未经证明，(即使它很严密，我说即使)它不被别人认可。事实上，你的证明方法(猜想带入所有条件均成立)只能得到“必要”答案，并不“充分”，你想一下，A满足B就说A=B显然是不充分的。而数学归纳法充分必要，或者说“不大不小，不缩不放”，用你的方法可以猜想出多套答案，把所有猜想出来的答案归纳一下就是充分必要。
数学归纳法证明共4
数列、极限、数学归纳法·用数学归纳法证明不等式·教案
证明：（1）当n=1时，左=2，右=2，则等式成立． （2）假设n=k时（k∈N，k≥1），等式成立，即 2+4+6+…+2k=k（k+1）． 当n=k+1时， 2+4+6+…+2k+（k+1）
所以n=k+1时，等式也成立．
根据（1）（2）可知，对于任意自然数n，原等式都能成立． 生甲：证明过程正确．
生乙：证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，没有应用归纳假设．
师：从形式上看此种证明方法是数学归纳法，但实质在要证明n=k+1正确时，未用到归纳假设，直接采用等差数列求和公式，违背了数学归纳法的本质特点递推性，所以不能称之为数学归纳法．因此告诫我们在运用数学归纳法证明时，不能机械套用两个步骤，在证明n=k+1命题成立时，一定要利用归纳假设．
（课堂上讲评作业，指出学生作业中不妥之处，有利于巩固旧知识，为新知识的学习扫清障碍，使学生引以为戒，所谓温故而知新）
（二）讲授新课
师：在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用． （板书）例1已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2．求证：（1+x）n＞1+nx． 师：首先验证n=2时的情况．
（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x2＞0，则原不等式成立．
（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫）
数学归纳法证明共5
人教版选修4—5不等式选讲
课题：用数学归纳法证明不等式
教学目标：
1、牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。
2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。
3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。
重点、难点：
1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。
2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。
教学过程：
一、复习导入：
1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？
（1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。
（2）步骤：1）归纳奠基;
2）归纳递推。
2、作业讲评：（出示小黑板）
习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1)
如采用下面的证法，对吗？
证明：①当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。
②假设n=k时，（k∈N，k≥1）等式成立，
即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)
当n=k+1时，
2+4+6+8+……+2k+2(k+1)
∴ n=k+1时，等式成立。
由①②可知，对于任意自然数n，原等式都成立。
（1）学生思考讨论。
（2）师生总结： 1）不正确
2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，
违背了数学归纳法本质：递推性。
二、新知探究
明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。 (出示小黑板)
例1观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。 ｛an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, …… ｛bn=2｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… （1）学生观察思考 （2）师生分析
（3）解：从第5项起，an ＜ bn ，即 n2＜2,n∈N+（n≥5）
证明：（1）当 n=5时，有52＜25，命题成立。 （2）假设当n=k（k≥5）时命题成立 即k＜
2当n=k+1时，因为
（k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2
由（1）（2）可知n2＜2n（n∈N+，n≥5）
学生思考、小组讨论：①放缩技巧：k2+2k+1＜k2+2k+k；k2+3k＜k2+k
2②归纳假设：2k
例2
证明不等式│Sin nθ│≤n│Sinθ│(n∈N+)
k n
n2
2k
分析：这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。
证明：（1）当 n=1时，上式左边=│Sinθ│=右边，不等式成立。 （2）假设当n=k（k≥1）时命题成立， 即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│
当n=k+1时，
│Sin （k+1）θ│=│Sin kθCosθ+Cos kθSin θ│ ≤│Sin kθCosθ│+│Cos kθSin θ│ =│Sin kθ││Cosθ│+│Cos kθ││Sin θ│ ≤│Sin kθ│+│Sin θ│ ≤k│Sinθ│+│Sin θ│ =（k+1）│Sinθ│
所以当n=k+1时，不等式也成立。
由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。
学生思考、小组讨论：①绝对值不等式: │a+b│≤ │a│+│b│
②三角函数的有界性：│Sinθ│≤1,│Cosθ│≤1 ③三角函数的两角和公式。
（板书）例3 证明贝努力（Bernoulli）不等式:
如果x是实数且x＞-1，x≠0,n为大于1的自然数，那么有（1+x）＞1+nx 分析：①贝努力不等式中涉几个字母？（两个：x,n）
②哪个字母与自然数有关？(n是大于1的自然是数)
（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）=1+2x+x，右边=1+2x，因x＞0，则原不等式成立．
（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫）
（2）假设n=k时（k≥2），不等式成立，即（1+x）＞1+kx． 师：现在要证的目标是（1+x）＞1+（k+1）x，请同学考虑．
生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当
k+1k
n=k+1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：（1+x）=（1+x）（1+x），因为x＞
k
-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）（1+x）＞（1+kx）（1+x）．
师：现将命题转化成如何证明不等式 （1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x． 显然，上式中“=”不成立．
k+
1k
2n
故只需证：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 提问：证明不等式的基本方法有哪些？
生：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法．
（提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用）
生：证明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比较法． （1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x] =1+x+kx+kx-1-kx-x
=kx＞0（因x≠0，则x＞0）． 所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 生：也可采用综合法的放缩技巧．
（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx=1+（k+1）x+kx．
因为kx＞0，所以1+（k+1）x+kx＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．
生：……
（学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结）
师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．
（板书）将例3的格式完整规范．
证明：（1）当n=2时，由x≠0得（1+x）=1+2x+x＞1+2x,不等式成立。
（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立， 即有（1+x）＞1+kx 当n=k+1时，
（1+x）k+1=（1+x）（1+x）＞（1+x）（1+kx）
k
k
=1+x+kx+ kx＞1+x+kx=1+（k+1）x 所以当n=k+1时，不等式成立
由①②可知，贝努力不等式成立。
（通过例题的讲解，在第二步证明过程中，通常要进行合理放缩，以达到转化目的）
三、课堂小结
1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．
2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．
四、课后作业
1．课本P53：1，3，5 2．证明不等式：
数学归纳法证明共6
§用数学归纳法证明不等式
学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;
2.重、难点：应用数学归纳法证明不等式.一、知识情景：
1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10.验证n取第一个值时命题成立( 即n＝n?时命题成立) (归纳奠基） ；
20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.30.由
10、20知，对于一切n≥n?的自然数n命题都成立！(结论）
要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.二、数学归纳法的应用：
例1.用数学归纳法证明不等式sinn?≤nsin?.（n?N?）
证明：（1）当 n=1时，上式左边=│Sinθ│=右边，不等式成立。
（2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│
当n=k+1时，│Sin （k+1）θ│=│Sin kθCosθ+Cos kθSin θ│
≤│Sin kθCosθ│+│Cos kθSin θ│
=│Sin kθ││Cosθ│+│Cos kθ││Sin θ│
≤│Sin kθ│+│Sin θ│≤k│Sinθ│+│Sin θ│=（k+1）│Sinθ│
所以当n=k+1时，不等式也成立。
由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。
例2． 证明贝努力（Bernoulli）不等式:
已知x?R,且x> ?1，且x?0，n?N*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.证明：（1）当n=2时，由x≠0得（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x,不等式成立。
（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即有（1+x）k＞1+kx
当n=k+1时，
（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+x+kx+ kx2＞1+x+kx=1+（k+1）x 所以当n=k+1时，不等式成立
由（1）（2）可知，贝努力不等式成立。
例3 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,?,an的乘积a1a2?an?1,
那么它们的和a1?a2???an≥n.
三、当堂检测
1、（1）不等式2n?n4对哪些正整数n成立？证明你的结论。
1（2）求满足不等式(1?)n?n的正整数n的范围。n
n2*2?2?n(n?N)．
2、用数学归纳法证明
证明：（1） 当n=1时， 2?2?1，不等式成立； 当n=2时， 2?2?2，不等式成立；当n=3时， 2?2?3，不等式成立．
*n?k(k?3,k?N)时不等式成立，即 2k?2?k2． （2）假设当
k?1k222则当n?k?1时， 2?2?2(2?2)?2?2k?2?(k?1)?k?2k?3， 1222
322kk?3∵，∴?2k?3?(k?3)(k?1)?0，（*）
k?1222k?122?2?(k?1)?k?2k?3?(k?1)2?2?(k?1)从而， ∴． 即当n?k?1时，不等式
也成立． 由（1），（2）可知，2?2?n对一切n?N都成立．
四、课堂小结
1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．
2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．
n2*
数学归纳法证明共6篇 归纳法如何证明相关文章：
相关热词搜索：数学归纳法证明