证明函数可导共3篇(若一个函数可导,可以证明什么)

　　下面是范文网小编整理的证明函数可导共3篇(若一个函数可导,可以证明什么)，供大家品鉴。

证明函数可导共1

　　函数的可导性与连续性的关系教案

　　教学目的

　　1．使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件．

　　2．使学生了解左导数和右导数的概念．

　　教学重点和难点

　　掌握函数的可导性与连续性的关系．

　　教学过程

一、复习提问

　　1．导数的定义是什么？

　　2．函数在点x0处连续的定义是什么？

　　在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点x=x0处连续必须具备以

∴f(x)在点x0处连续．

　　综合(1)(2)原命题得证．

　　在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题．先由学生回答函数的可导性与连续性的关系．

二、新课

　　1．如果函数f(x)在点x0处可导，那么f(x)在点x0处连续．

∴f(x)在点x0处连续．

　　提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点x0处一定可导吗？为什么？若不可导，举例说明．

　　如果函数f(x)在点x0处连续，那么f(x)在该点不一定可导．

　　例如：函数y=|x|在点x＝0处连续，但在点x=0处不可导．从图2－3看出，曲线y＝f(x)在点O(0，0)处没有切线．

　　证明：(1)∵ Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|，

∴函数y=|x|在点x0处是连续的．

　　2．左导数与右导数的概念．

(2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明)．

(3)函数在一个闭区间上可导的定义．

　　如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内可导，在左端点x＝a处存在右导数，在右端点x＝b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间[a，b]上可导．

三、小结

　　1．函数f(x)在x0处有定义是f(x)在x0处连续的必要而不充分条件．

　　2．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处有极限的充分而不必要条件．

　　3．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处可导的必要而不充分的条件．

四、布置作业

　　作业解答的提示：

=f(1)．

∴ f(x)在点x＝1处连续．

∴ f(x)在x=1处不可导．

　　证明可导

　　证明函数fx

　　凸函数证明

　　证明偶函数

　　函数极限证明

证明函数可导共2

1.讨论函数f(x)??2.已知f(x)???x?1,x?1在x?1处的连续性。

?1?x,x?1?2x,x?1在x?1处的连续，试求a值。

?ax?b,x?1?ex,x?03.设函数f(x)??在x?0处的连续，试求a值。

?a?x,x?04.讨论函数f(x)???x,x?0在x?0处的连续性和可导性。

??x,x?0?sinx,x?05.设函数f(x)??，求f?(0)。

?x,x?01??xarctan,x?06.证明函数f(x)??在x?0处的连续但不可导。 x?0,x?0?1?sinx)?a?2,x?0?b（7.确定a.与b的值，使f(x)??在x?0处可导。 axe?1,x?0??x2,x?08.已知函数f(x)??，求f??(0)及f??(0)又f?(0)是否存在？

??x,x?0?x2,x?0?9.设函数f(x)??A,x?0，则A为何值时f(x)在x?0处的连续，并讨?x,x?0?论此时函数在x?0处是否可导。

?x2,x?310.确定a.与b的值，使f(x)??在x?3处可导。

　　ax?b,x?3?

证明函数可导共3

　　构造可导函数证明不等式

◎李思阳本溪市机电工程学校

【内容简要】构造辅助函数，把不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式。而如何构造一个可导函数，是用导数证明不等式的关键。本文从热门的高考题及模拟题中选出四种类型题供师生们参考。

【关键词】构造辅助函数；导数；不等式。

　　一．直接作差

　　1（2011·辽宁文科）设函数f(x)?x?ax2?blnx，曲线y?f(x)过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2.

（1） 求a，b的值；

（2） 证明：f(x)?2x?2。

（1）解：f?(x)=1+2ax??1?a?0b.由已知条件得f(1)?0，f?(1)=2，即? x?1?2a?b?2

　　解得??a??1。

?b?3

(2)证明:因为f(x)的定义域为（0，+∞），由（1）知f(x)?x?x2?3lnx。

　　设g(x)?f(x)?(2x?2)=2?x?x?3lnx，

　　则g?(x)=?1?2x?23(x?1)(2x?3)=。 xx

　　当0＜x＜1时，g?(x)＞0，当x＞1时，g?(x)＜0。

　　所以g(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减。而g(1)=0，故当x＞0时，g(x)≤0，即f(x)?2x?2。

　　总结：直接作差g(x)?f(x)?(2x?2)，用导数得gmax(x)?g(1)=0，从而得证。直接作差是证这类题最常用的方法。

　　二．分离函数

2.（2011·课标全国卷文科）已知函数f(x)?

　　处的切线方程为x?2y?3?0。

（1）求a，b的值；

（2）证明：当x＞0，且x?1时，f(x)＞

(1) 解:略a?1，b?1。 alnxb?，曲线y?f(x)在点（1，f(1)）x?1xlnx。 x?1

　　lnx1lnx1x2?1?，所以f(x)?(2lnx?)。 （2）证明：由（1）知f(x)?=x?1xx?11?x2x

　　x2?1考虑函数h(x)=2lnx?（x＞0），则 x

　　22x2?(x2?1)(x?1)2

=。 h?(x)=?22xxx

　　所以当x?1时，h?(x)＜0，而h(1)?0

　　当x∈（0，1）时，h(x)＞0，可得，故 1h(x)＞0； 21?x

　　1h(x)＞0。 当x∈（1，+∞）时，h(x)＜0，可得1?x2

　　lnx从而当x＞0，且x?1时，f(x)＞。 x?1

　　总结：作差后的函数如可分为两个函数的积，直接求导很繁，可取其中一个函数求导，再讨论证明。

　　三．巧妙变形

3.（2010·辽宁文科）已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax2?1。

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）设a??2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），f(x1)?f(x2)?4x1?x2。 解：（1）略。

（2） 不妨设x1≥x2，由于a??2，故f(x)在（0，+∞）减少。所以

　　f(x1)?f(x2)?4x1?x2等价于f(x2)?f(x1)≥x1-x2，即f(x2)?x2≥f(x1)?x1。

　　a?12ax2?4x?a?1?2ax?4=令g(x)?f(x)?x，则g?(x)=。于是 xx

?4x2?4x?1?(2x?1)2

?g?(x)≤≤0。 xx

　　从而g(x)在（0，+∞）单调减少，故g(x1)≤g(x2)。即f(x1)?x1≤f(x2)?x2， 故，对任意x1，x2∈（0，+∞），f(x1)?f(x2)?4x1?x2。

　　总结：通过等价变形，构造函数g(x)，利用g(x)的单调性得证。

　　四．作函数积

　　12?。 exex

　　1212证明: 对任意的x?（0，﹢∞），lnx?1＞x??x(lnx?1)>x(x?) exexee

　　x2设函数f(x)=xlnx?x，g(x)=x+。 ee

　　111f?(x)=lnx?2，f?(x)=0，得x?2，易知fmin(x)=f(2)=—2。 eee4.（2011·本溪一中模拟）对任意的x?（0，﹢∞），求证：lnx?1＞

　　1ex?xex

??，=0，得1，易知==。 g(1)g?(x)=g(x)g(x)x?maxee2x

　　11??，∴fmin(x)＞gmax(x)，∴f(x)?g(x)。 ee2

　　x212∴xlnx?x?x+。因此lnx?1＞x?。 exeee∵?

　　总结：直接做不好做，不等式两边同乘以一个函数，先进行证明，得到结果后再同除以这个函数，从而证得。

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