证明菱形共5篇 菱形的几种证明方法

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证明菱形共1

11、平行四边形ABCD中，AB⊥AC,AB=1，BC= 根号5，对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC,AD于点E,F.(1) 证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形。

(2) 试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等。

(3) 在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由

1、平行四边形ABCD中，AB⊥AC,AB=1，BC= 根号5，对角线AC,BD相交于点O,将直

　　线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC,AD于点E,F.

(1) 证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形。

(2) 试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等。

(3) 在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由

　　并求出此时AC绕点O顺时针旋转地度数。

　　如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=5．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．

（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

　　分析：（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；

（2）证明△AOF≌△COE即可；

（3）EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，可根据勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB

⊥AC，∴∠AOB=45°．

　　证明：（1）当∠AOF=90°时，AB∥EF，

　　又∵AF∥BE，

∴四边形ABEF为平行四边形．

（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AO=CO，∠FAO=∠ECO，∠AOF=∠COE． ∴△AOF≌△COE．

∴AF=EC．

（3）四边形BEDF可以是菱形．

　　理由：如图，连接BF，

　　DE

　　由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，

∴EF与BD互相平分．

∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．

　　在Rt△ABC中，AC＝

， ∴OA=1=AB，又AB⊥AC，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOF=45°，

∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．

证明菱形共2

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1.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD.求证:四边形ABCD为菱形.【答案】∵AB∥CD, ∴∠BAE=∠DCF.

∵DF∥BE, ∴∠BEF=∠DFE, ∴∠AEB=∠CFD.

　　又∵AE=CF, ∴△AEB≌∠CFD, ∴AB=CD.

∵AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形.

∵AC平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAF.

　　又∠BAE=∠DCF, ∴∠DAF=∠DCF, ∴AD=CD, ∴四边形ABCD是菱形.

2.如图，矩形ABCD中，点O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB=60°，FO=FC.

　　求证:

(1)四边形EBFD是菱形;

【答案】连接OD.∵点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，

∴B,D, O三点共线且BD=DO=CO=AO. 在矩形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，∴∠FCO=∠EAO. 在△CFO和△AEO中，

∴△CFO≌△AEO，∴FO=EO. 又∵BO=DO，∴四边形BEFD是平行四边形. ∵BO=CO，∠COB=60°，

∴△COB是等边三角形.∴∠OCB=60°.

∴∠FCO=∠DCB-∠OCB=30°.

∵FO=FC，∴∠FOC=∠FCO=30°.

∴∠FOB=∠FOC+∠COB=90°.

∴EF⊥BD.∴平行四边形EBFD是菱形.(2)MB∶OE=3∶2.【答案】∵BO=BC，∴点B在线段OC的垂直平分线上.

∵FO=FC，∴点F在线段OC的垂直平分线上.

∴BF是线段OC的垂直平分线.

∴∠FMO=∠OMB=90°.

∴∠OBM=30°.∴OF=BF.

∵∠FOC=30°，∴FM=OF.

∴BM=BF-MF=2OF-OF=OF.

　　即FO=EO，∴BM∶OE=3∶2.

3.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.求证:四边形BGFD是菱形.

【答案】∵FG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形. ∵CF⊥BD,AG∥BD,∴CF⊥AG.又∵∠ABC=90°,点D是AC的中点,∴BD=DF=AC,

∴平行四边形BGFD是菱形.

4.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE. 求证:OE=BC.

【答案】∵DE∥AC,CE∥BD, ∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,OB=OD, ∴∠BOC=∠COD=90°,

∴四边形OCED是矩形, ∴∠ODE=90°,∵OB=OD,∠BOC=∠ODE=90°,

∴BC=,OE=,

∵DE=OC. ∴OE=BC.

5.[2015·兰州中考,25] (9分)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.

(1)求证:AD=BC;

【答案】作BM∥AC,BM交DC的延长线于点M,则∠ACD=∠BMD.

　　1分

∵AB∥CD,BM∥AC, ∴四边形ABMC为平行四边形.

　　2分

∴AC=BM.

∵BD=AC,∴BM=BD.

∴∠BDM=∠BMD.

∴∠BDC=∠ACD.

　　在△BDC和△ACD中,

∴△BDC≌△ACD.

　　4分

∴BC=AD.

　　5分

(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.【答案】连接EG,GF,FH,HE.

　　6分

∵E,H为AB,BD的中点,∴EH=AD.

　　同理FG=AD,EG=BC,FH=BC.

∵BC=AD,∴EG=FG=FH=EH.

　　8分

∴四边形EGFH为菱形, ∴EF与GH互相垂直平分.

　　9分

6.[2015·长春中考,18] (7分)如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G,求证:四边形ACGF是菱形.

【答案】因为AF∥CD,FG∥AC, 所以四边形ACGF是平行四边形①,

　　又因为∠ACE=∠ECG,∠ECG=∠AFC, 所以∠ACE=∠AFC,所以AC=AF②,

　　由①②得四边形ACGF是菱形.

7.[2010·上海中考，23]已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD(如图所示)，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.

(1)在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED是菱形； 【答案】

∵∠BAE＝∠DAE， ∠DAE＝∠BEA，

∴∠BAE＝∠BEA，AB＝BE＝AD，

　　AD∥BE，∴四边形ABED的平行四边形，又AB＝AD， ∴四边形ABED为菱形

(2)∠ABC＝60°，EC＝2BE，求证：ED⊥DC.【答案】过D作DF∥AE，则DF＝CF＝1，

∴∠C＝30°，而∠DEC＝60°，

∴∠EDC＝90°，∴ED⊥DC.

8.[2010·沈阳中考，19]如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形.

【答案】∵点E，F分别为AB，AD的中点

∴AE＝AB，AF＝AD(2分)

　　又∵四边形ABCD是菱形

∴AB＝AD

∴AE＝AF(4分) 又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O

∴O为BD的中点

∴OE，OF是△ABD的中位线(6分) ∴OE∥AD，OF∥AB

∴四边形AEOF是平行四边形(8分) ∵AE＝AF

∴四边形AEOF是菱形(10分)

9. [2010·安徽中考，20]如图，AD∥FE，点B,C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.

(1)求证：四边形BCEF是菱形； 【答案】∵AD∥FE，∴∠FEB＝∠2.

∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1.

∴BF＝EF

∵BF＝BC，∴BC＝EF. ∴四边形BCEF是平行四边形

∵BF＝BC，

∴四边形BCEF是菱形(5分)

(2)若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE.【答案】∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥FE，

∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形，∴AF＝BE，FC＝ED.(8分) 又∵AC＝2BC＝BD，(9分) ∴△ACF≌△BDE.(10分)

10.[2013·长沙中考，24]如图，在?ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O.

(1)求证：△ABN≌△CDM；

【答案】∵∠ABN＝∠CDM，AB＝CD，

　　BN＝BC＝AD＝DM，

∴△ABN≌△CDM(SAS).

(2)过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE＝1，∠1＝∠2，求AN的长.

【答案】∵M，O分别为AD，ND的中点，

∴AN∥MO且AN＝2MO，

∴∠MOD＝∠AND＝90°，即平行四边形CDMN是菱形，

　　在Rt△MOD与Rt△NEC中，

∵∠1＝∠2，MD＝NC，∴Rt△MOD≌Rt△NEC，

∴MO＝NE. 根据菱形的性质可知，∠MND＝∠CND，∠1＝∠CND，所以∠MND＝∠CND＝∠2＝30°，所以在Rt△ENP中NE＝PE÷tan30°＝，

　　即AN＝2.

11.如图,在△ABC中,∠A=90°,AH⊥BC于点H,∠B的平分线交AC于点D,交AH于点E,DF⊥BC于点F,求证:四边形AEFD是菱形.

【答案】∵∠ABD=∠FBD,BD=BD,∠BAD=∠DFB=90°,

∴△ABD≌△FBD,∴AD=DF,AB=FB.

　　又∠ABE=∠FBE,BE=BE, ∴△ABE≌△FBE.

∴∠BAE=∠BFE.

　　又∠BAE=90°-∠ABC=∠C, ∴∠BFE=∠C,∴EF∥AD.

∵DF⊥BC,AH⊥BC,∴AE∥DF.

∴四边形AEFD是平行四边形.

　　又AD=DF,∴四边形AEFD是菱形.12.[2012·南宁中考,25]如图,已知矩形纸片ABCD,AD＝2,AB＝4,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.

　　图1图2

(1)如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形； 【答案】证法一：

　　证明：在矩形ABCD中,CD∥AB

∴∠1＝∠3(1分) 由折叠可知：AG＝EG,∠1＝∠2

∴∠2＝∠3

∴EF＝EG(2分) ∴EF＝AG

∴四边形AGEF是菱形(3分) 证法二：

　　证明：连接AF,由折叠可知

　　OA＝OE,AG＝EG(1分) 在矩形ABCD中,AB∥CD

∴∠AEF＝∠EAG

∵∠AOG＝∠EOF

∴△AOG≌△EOF(ASA)(2分) ∴AG＝EF

∴四边形AGEF是菱形(3分)

(2)如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时,求证,点N是线段BC的中点； 【答案】证明：连接ON,O是Rt△ADE外接圆圆心.

∵⊙O与BC相切于点N

∴ON⊥BC(4分) 在矩形ABCD中,DC⊥BC,AB⊥BC

∴CD∥ON∥AB

∴＝(5分)

∵OA＝OE ∴CN＝NB

　　即N为BC的中点(6分)

(3)如图2,在第2问的条件下,求折痕FG的长.【答案】解法一：

　　过点O作OM⊥AB于点M,则四边形OMBN是矩形

　　设⊙O半径为x,则OA＝OE＝ON＝x(7分) ∵AB＝4,AD＝2 ∴AM＝4－x

　　由第2问得,NB＝OM＝1 在Rt△AOM中,OA＝AM＋OM

∴x＝(4－x)＋1 ∴x＝(8分)

　　2AM＝4－＝

∵∠FEO＝∠OAM

　　又∵∠FOE＝∠OMA＝90° ∴Rt△EFO∽Rt△AOM

∴＝ ∴＝(9分) ∴OF＝ ∴FG＝2OF＝(10分) 解法二：

　　延长NO交AD于点M

∴四边形ABNM是矩形 ∴AM＝BN＝AD＝1 ∵O为Rt△ADE外接圆圆心 ∴OA＝OE＝ON

　　设ON为x,则OM＝4－x(7分) 22

　　2 在Rt△AMO中,AM＋OM＝OA 即1＋(4－x)＝x x＝(8分) 222∴OM＝4－＝

∵FG⊥AE,MN∥DC ∴∠FEO＝∠MOA ∠AMO＝∠EOF＝90° ∴△EOF∽△OMA ∴＝ ∴＝(9分) ∴OF＝ FG＝2OF＝(10分)

13.[2013·葫芦岛中考,20] (本小题满分8分) 如图,四边形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AD,BC=DC,BE⊥CD于点E.

(1)求证:△ABD≌△EBD; 【答案】如图,

∵AD∥BC, ∴∠1=∠DBC.

∵BC=DC,∠2=∠DBC.

∴∠1=∠2.

　　2分

　　又∵∠BAD=∠BED=90°,

　　BD=BD,∴△ABD≌△EBD.

　　4分

(2)过点E作EF∥DA,交BD于点F,连接AF.求证:四边形AFED是菱形.【答案】由第1问得,AD=ED,∠1=∠2.

∵EF∥DA,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3.

∴EF=ED.

　　5分

∴EF=AD.

　　6分

∴四边形AFED是平行四边形.

　　又∵AD=ED.

∴四边形AFED是菱形.

　　8分

14.[2013·贵阳中考，20] 已知：如图，在菱形ABCD中，F为BC上的任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.

(1)求证：AE＝EC；

【答案】

　　证明：连接AC. ∵BD是菱形ABCD的对角线，

∴BD垂直平分AC. ∴AE＝EC.

(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由.【答案】点F是线段BC的中点. 理由：∵菱形ABCD中，AB＝BC，

　　又∵∠ABC＝60°.

∴△ABC是等边三角形，∠BAC＝60°.

∵AE＝EC，∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.

∴AF是△ABC的角平分线. ∵AF交BC于点F，

∴AF是△ABC的BC边上的中线. ∴点F是线段BC的中点.15.[2012·上海中考,23]已知：如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠BAF＝∠DAE,AE与BD交于点G.

(1)求证：BE＝DF；

【答案】∵四边形ABCD为菱形, ∴AB＝AD＝BC＝CD, ∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝∠CDB, ∠ABE＝∠ADF

∵∠BAF＝∠DAE, 且∠BAF＝∠BAE＋∠EAF, ∠DAE＝∠DAF＋∠EAF

∴∠BAE＝∠DAF. ∴△ABE≌△ADF(ASA). ∴BE＝DF.

(2)当＝时,求证：四边形BEFG是平行四边形.【答案】在菱形ABCD中,ADBC, ∴∠DAE＝∠BEA,∠ADB＝∠EBD. ∴△AGD∽△EGB. ∴＝.

　　又∵＝,BE＝DF,

∴＝＝＝

∴GF∥BE. ∴∠DGF＝∠DBC. ∵∠DBC＝∠CDB, ∴∠DGF＝∠GDF, ∴GF＝DF, ∴BE＝GF. ∴BEGF,

∴四边形BEFG是平行四边形.

16.[2013·乌鲁木齐中考,19]如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分别与BC,CD交于E,F,EH⊥AB于H,连接FH.求证：四边形CFHE是菱形.

【答案】∵AE平分∠BAC,∴∠CAE＝∠EAH,而∠ACB＝90°,CD⊥AB, ∴∠CEA＋∠CAE＝∠AFD＋∠EAH＝90°,又∠APD＝∠CFE,

∴∠CFE＝∠CEF,∴CF＝CE.又∵AE平分∠BAC,∠ACB＝90°.EH⊥AB,∴CE＝EH, ∴CF＝EH＝CE,∵CD⊥AB,EH⊥AB,∴CF∥EH, ∴四边形CFHE是菱形.

17.如图所示,在菱形ABCD中,CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F,求证:AE=AF.

【答案】证法1：如图所示,连接AC,

∵四边形ABCD是菱形, ∴AC平分∠BAD,即∠BAC=∠DAC.

　　在△ACE和△ACF中, ∠AEC=∠AFC=90°,∠BAC=∠DAC,AC=AC, ∴△ACE≌△ACF(AAS),∴AE=AF.

　　证法2：∵四边形ABCD是菱形, ∴BC=DC=AD=AB,∠B=∠D.

　　又∵在△BCE和△DCF中,∠BEC=∠DFC=90°,

∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BE=DF,∴AE=AF.

18.[2013·南宁中考，23]如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点.

(1)求证：△ABE≌△CDF；

【答案】在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA(或AB＝CD，BC＝DA). ∠B＝∠D. ∵点E，F分别是边BC，AD的中点，

∴BE＝DF. ∴△ABE≌△CDF.

(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长.【答案】解法一：∵AB＝BC，∠B＝60°，

∴△ABC是等边三角形. ∵点E是BC边的中点. ∴AE⊥BC. 在Rt△ABE中，sinB＝.

∴AE＝AB·sinB＝4×＝.

　　解法二：∵AB＝BC，∠B＝60°，

∴△ABC是等边三角形. ∵点E是BC边的中点，∴AE⊥BC. ∴∠BAE＝30°.

　　在Rt△ABE中，BE＝AB＝2.

∴AE＝＝＝.

19.[2012·温州中考,19](本题8分) 如图,△ABC中,∠B＝90°,AB＝6cm,BC＝8cm,将△ABC沿射线BC方向平移10cm,得到△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接AD.求证：四边形ACFD是菱形.

【答案】法一：∵∠B＝90°,AB＝6cm,BC＝8cm. ∴AC＝10cm. 由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm,DF＝AC, ∴AD＝CF＝AC＝DF, ∴四边形ACFD是菱形. 法二：由平移变换的性质得AD∥CF, AD＝CF＝10cm, ∴四边形ACFD是平行四边形, ∵∠B＝90°,AB＝6cm,BC＝8cm, ∴AC＝10cm, ∴AC＝CF, ∴?ACFD是菱形.

20.[2011?兰州中考，27](本小题满分12分) 已知：如图17所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F.分别连接AF和CE.

(1)求证：四边形AFCE是菱形；

【答案】由题意可知OA＝OC，EF⊥AO.

∵AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，

∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形(2分)

∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形.(4分)

(2)若AE＝10 cm，△ABF的面积为24 cm，求△ABF的周长； 【答案】∵四边形AECF是菱形，

∴AF＝AE＝10 cm.

　　设AB＝a，BF＝b，

∵△ABF的面积为24 cma＋b＝100，ab＝48(6分)

(a＋b)＝196，a＋b＝14或a＋b＝－14(不合题意，舍去)(7分)

△ABF的周长为a＋b＋10＝24 cm(8分) 2

　　2,

　　2

　　2

　　2(3)在线段AC上是否存在一点P，使得2AE＝ACAP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.

【答案】存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点(9分)

　　证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP，

∴△AOE∽△AEP，∴＝，

∴AE＝AOAP(11分)

∵四边形AECF是菱形，

∴AO＝AC，∴AE＝ACAP，

∴2AE＝ACAP.(12分) 222

221.[2013·营口中考,19]如图 ,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC一个外角的平分线,且∠BAC=∠ACD.

(1)求证:△ABC≌△CDA;

【答案】∵AB=AC,∴∠B=∠ACB

　　又∵∠FAC是△ABC的一个外角, ∴∠FAC=∠B+∠ACB

∴∠FAC=2∠ACB

　　2分

　　又∵AD是∠FAC的角平分线,∴∠FAC=2∠CAD, ∴∠ACB=∠CAD

　　3分

　　又∵AC=CA,∠BAC=∠DCA

∴△ABC≌△CDA

　　4分

(2)若∠ACB=60°,求证:四边形ABCD是菱形.【答案】∵∠BAC=∠ACD

∴AB∥CD

　　5分

　　又∵∠ACB=∠CAD, ∴AD∥BC.

∴四边形ABCD是平行四边形.

　　6分

∵AB=AC,∠ACB=60°,

∴等腰三角形ABC是等边三角形.

　　7分

∴AB=BC.

∴四边形ABCD是菱形.

　　8分

22.[2011?宁波中考,23](本小题满分8分) 如图13,在ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,BD是对角线,过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G.

(1)求证：DE∥BF；

【答案】在ABCD中,AB∥CD,AB＝CD

∵E,F分别为边AB,CD的中点

∴DF＝DC,BE＝AB

∴DF∥BE,DF＝BE(2分) ∴四边形DEBF为平行四边形(3分) ∴DE∥BF(4分)

(2)若∠G＝90°,求证：四边形DEBF是菱形.【答案】∵AG∥BD

∴∠G＝∠DBC＝90°

∴△DBC为直角三角形(5分) 又∵F为边CD的中点

∴BF＝DC＝DF.(7分)

　　又∵四边形DEBF为平行四边形

∴四边形DEBF是菱形(8分)

23.[2013·黄冈中考，17]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.

【答案】四边形ABCD是菱形，

∴OD＝OB，∠COD＝90°，

∵DH⊥AB于H，∴∠DHB＝90°，

∴∠OHB＝∠OBH，

　　又∵AB∥CD.∴∠OBH＝∠ODC，

∴∠OHB＝∠ODC. 在Rt△COD中，∠ODC＋∠OCD＝90°，

　　在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，

∴∠DHO＝∠DCO.

24.[2013·锦州中考,20]如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.

　　求证:OE=BC.

【答案】∵DE∥AC,CE∥BD

∴四边形OCED是平行四边形

　　2分

　　又∵AC,BD是菱形ABCD的对角线

∴AC⊥BD,即∠COD=90°

　　4分 ∴平行四边形OCED是矩形

　　6分 ∴OE=CD

　　8分 又∵BC=CD

　　9分 ∴OE=BC

　　10分

(学生用其他方法证明,请参照评分标准酌情给分)

证明菱形共3

　　菱形的判定证明题练习

　　1如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．求证：四边形AECD是菱形．

　　C

　　BAE

　　2 已知：如图，在ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．

（1）求证：BE?DG；

（2）若?B?60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论． D

　　BE

　　F

　　3如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论．

　　4如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC、CD于点P、Q，分别交AB、AD的延长线于点E、F．已知BE=BP．

　　求证：（1）∠E=∠F．

（2）□ABCD是菱形．

　　BE平分?ABC交AD于点E，DF平分?ADC5.如图，在平行四边形ABCD中，

　　交BC于点F.求证：（1）△ABE≌CDF；

（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论.

　　DEA

　　BCF

6.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．

（1）求证：△BDF≌△CDE；

（2）若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形．

7.如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．

（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；

（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．

　　AOE

　　B

8.已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC?CD，AD⊥BD，E为AB中点．

　　求证：四边形BCDE是菱形．

9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．

（1）说明四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．

11.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G.（1）求证：DE∥BF；

（2）若?G?90°，求证：四边形DEBF是菱形．

　　k的图像经过点（1，x

　　4），菱形OABC的顶点A在函数的图像上，对角线OB在x轴上.

（1）求反比例函数的关系式；

（2）直接写出菱形OABC的面积.

12.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数y?

13.如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为点E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？

　　F A B C E

14.(2011 山东省济宁市) 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF?BD，分别交AD、BC于点E和F．求证：四边形BEDF是菱形．

　　D

　　C F

15.(2011 山东省临沂市) 如图，△ABC中，AB?AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线． F （1）求证：AC?AD；

（2）若?B?60°，求证：四边形ABCD是菱形．

　　A

　　B E C

16.(2011 山东省青岛市) 已知：□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．

（1）求证：△BEC≌△DFA；

（2）连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

　　D

　　EFC

证明菱形共4

　　选择题（共30小题）

1、（2011?益阳）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（

）

　　A、矩形 B、菱形

　　C、正方形

　　D、等腰梯形

2、（2011?清远）如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（

）

　　A、AB=CD

　　B、AD=BC

　　C、AB=BC

　　D、AC=BD

3、（2011?昆明）如图，在?ABCD中，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的是（

）

（3）

（4） A、AB=BC B、AC⊥B

　　C、BD平分∠ABC

　　D、AC=BD

4、（2010?义乌市）如图，将三角形纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（

）

①△BDF是等腰三角形；②DE=BC；

③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A．

　　A、1 C、3 B、

　　2D、4

（5）

（第6题）

　　B、对角线互相垂直的四边形是菱形

　　D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

5、（2010?天津）下列命题中正确的是（

）

　　A、对角线相等的四边形是菱形

　　C、对角线相等的平行四边形是菱形

6、（2010?连云港）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（

）

　　A、BA=BC B、AC、BD互相平分

　　C、AC=BD

　　D、AB∥CD 1

7、（2008?泰安）如图，下列条件之一能使平行四边行ABCD是菱形的为（

） ①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．

A、①③ C、③④

　　B、②③

　　D、①②③

（8）

8、（2008?丽水）如图，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A′．若四边形ADA′E是菱形，则下列说法正确的是（

）

A、DE是△ABC的中位线 C、AA′是BC边上的高

　　B、AA′是BC边上的中线 D、AA′是△ABC的角平分线

9、（2007?衢州）红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（

）

　　A、正方形 B、等腰梯形

　　C、菱形

　　D、矩形

10、（2007?青海）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是（

） A、等腰梯形 B、矩形

　　C、菱形

　　D、正方形

11、（2007?泸州）在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（

） A、矩形 B、菱形

　　C、正方形

　　D、梯形

12、（2007?连云港）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（

）

A、四边形AEDF是平行四边形

　　B、如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形

　　D、如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDFC、如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形

　　是菱形

13、（2007?哈尔滨）下列说法中，正确的说法有（

）

①对角线互相平分且相等的四边形是菱形；

②一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的根是x1=4，x2=﹣1； ③依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；④一元一次不等式2x+5＜11的正整数解有3个；⑤在数据1，3，3，0，2中，众数是3，中位数是3． A、1个 B、2个

　　C、3个

　　D、4个

　　2

14、（2007?福州）下列命题中，错误的是（

）

　　A、矩形的对角线互相平分且相等 C、等腰梯形的两条对角线相等

　　A、正方形

　　B、对角线互相垂直的四边形是菱形 D、等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等

　　D、梯形

　　D、等腰三角形

15、（2006?双流县）顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是（

）

　　B、菱形

　　C、矩形

　　B、矩形

　　C、菱形

16、（2006?黔东南州）两个全等的直角三角形不能拼成的图形是（

）

　　A、平行四边形

17、（2006?连云港）如图所示，正方形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接BE，BF，DE，DF，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形（

）

　　A、∠1=∠2 A、梯形

　　C、菱形

　　A、等腰梯形 A、等腰梯形 B、BE=DF

　　C、∠EDF=60°

　　B、矩形 D、正方形

　　B、正方形

　　C、矩形

　　D、菱形 D、矩形 D、AB=AF

18、（2005?宁波）若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是（

）

19、（2004?南京）用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（

） 20、（2004?昆明）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（

）

　　B、正方形

　　C、菱形

21、（2004?郴州）在一个四边形ABCD中，依次连接各边中点的四边形是菱形，则对角线AC与BD需要满足条件（

）

A、垂直 B、相等

　　C、相交

　　D、不再需要条件

22、（2003?四川）下列说法正确的是（

）

　　A、有两边相等的平行四边形是菱形

　　C、四个角相等的菱形是正方形

　　A、对角线相等

　　B、有一个角是直角的四边形是矩形 D、任何正多边形都可以密铺

23、（2002?湛江）下列条件中，能判断四边形是菱形的是（

）

　　B、对角线互相平分

　　D、对角线互相垂直平分 C、对角线互相垂直

24、（2002?荆州）如下图过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为（

）

　　A、梯形 B、矩形

　　C、菱形

　　D、正方形

25、（2000?天津）以下有四个结论：

①顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的四边形是菱形； ②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；

　　3 ③顶点在圆上的角叫做圆周角；

④边数相同的正多边形都是相似形．其中正确的有（

）

　　A、1个 C、3个 B、2个 D、4个

26、（2000?荆门）顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是 （

）

　　A、相等

　　A、正方形 B、互相垂直

　　C、相等且互相垂直 B、矩形

　　C、菱形

　　D、相等且互相平分

27、（1999?烟台）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是（

）

　　D、等腰梯形

　　B、两条对角线相等的四边形是矩形

　　D、两条对角线平分且相等的四边形是正方形

28、（1999?昆明）下列命题中，正确命题是（

）

　　A、两条对角线相等的四边形是平行四边形 C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形 A、两条对角线垂直的四边形是菱形

　　C、两条对角线相等的四边形是矩形

29、下列命题中，真命题是（

）

　　B、对角线垂直且相等的四边形是正方形 D、两条对角线相等的平行四边形是矩形

一、解答题

1、（2010?盘锦）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F． （1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD； （2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；

（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由．

2、（2010?黔南州）已知：如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． （1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

．

　　4

证明菱形共5

　　专题矩形、菱形、正方形的证明

1、如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F. 求证：BE=CF.

　　A

2.如图，△ABC中，∠ACB=900，点D、E分别为AC、AB的中点，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠A，求证：四边形DECF是平行四边形；

4、在△ABC中，∠C=90O，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E， PF⊥BC于点F。求证：DE=DF

5、平行四边形ABCD，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形

6、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形

7、平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA⊥PC，PB⊥PD，垂足为Ｐ。求证：四边形ABCD为矩形

8、已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．

　　E O F D B C 9、如图，△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F， (1)求证：OE=OF； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论。

12、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E， DF∥AB交AC于F． 求证：四边形AEDF是菱形；

14、如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。

15、如图，在已知平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点E，EF//AB，与AD相交于点F.求证:四边形ABEF是菱形.

16、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，四边形AEFG是菱形吗?

证明菱形共5篇 菱形的几种证明方法相关文章：