下面是范文网小编收集的北师大初一下册数学知识框架3篇 初二数学下册北师大版知识点，供大家参考。
北师大初一下册数学知识框架1
第一章：整式的运算单项式 整 式 多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式整 式 的 运 算幂运算整式的乘法 整式运算整式的除法 多项式除以单项式 一、单项式 1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式的单项式的系数是 1 或―1。
6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7、单独的一个非零常数的次数是 0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式的系数是 1 或―1 时，通常省略数字“1” 。
12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式 1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式 1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式不一定是单项式。1 4、整式不一定是多项式。
5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
四、整式的加减 1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。
2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。
3、几个整式相加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
（2）按去括号法则去括号。
（3）合并同类项。
4、代数式求值的一般步骤： （1）代数式化简。
（2）代入计算 （3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。
五、同底数幂的乘法 n n 1、n 个相同因式（或因数）a 相乘，记作 a ，读作 a 的 n 次方（幂） ，其中 a 为底数，n 为指数，a 的结果 叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
m n m+n 3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：a ﹒a =a 。
m+n m n 4、此法则也可以逆用，即：a = a ﹒a 。
5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。
六、幂的乘方 m n m 1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。
） 表示 n 个 a 相乘。
（a m n mn 2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
） =a 。
（a mn m n n m 3、此法则也可以逆用，即：a =（a ） =（a ） 。
七、积的乘方 1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
n n n 2、 积的乘方运算法则：积的乘方， 等于把积中的每个因式分别乘方， 然后把所得的幂相乘。即 （ab） =a b 。
n n n 3、此法则也可以逆用，即：a b =（ab） 。
八、三种“幂的运算法则”异同点 1、共同点： （1）法则中的底数不变，只对指数做运算。
（2）法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式） 。
（3）对于含有 3 个或 3 个以上的运算，法则仍然成立。
2、不同点： （1）同底数幂相乘是指数相加。
（2）幂的乘方是指数相乘。
（3）积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。
九、同底数幂的除法 m n m-n 1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a ÷a =a （a≠0） 。
m-n m n 2、此法则也可以逆用，即：a = a ÷a （a≠0） 。
十、零指数幂 0 1、零指数幂的意义：任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1，即：a =1（a≠0） 。
十一、负指数幂 1、任何不等于零的数的―p 次幂，等于这个数的 p 次幂的倒数，即： 注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为 0。2a?p?1 ap(a ? 0) 十二、整式的乘法 （一）单项式与单项式相乘 1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的 指数不变，作为积的因式。
2、系数相乘时，注意符号。
3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
4、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。
5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
（二）单项式与多项式相乘 1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项， 再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。
2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。
（三）多项式与多项式相乘 1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘 以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。
3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负” 。
4、运算结果中有同类项的要合并同类项。
5、对于含有同一个字母的一次项系数是 1 的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算： 2 (x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab。
十三、平方差公式 2 2 1、 （a+b）(a-b)=a -b ，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
2、平方差公式中的 a、b 可以是单项式，也可以是多项式。
2 2 3、平方差公式可以逆用，即：a -b =（a+b）(a-b)。
4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成 2 2 （a+b）?(a-b)的形式，然后看 a 与 b 是否容易计算。
十四、完全平方公式 1、 ( a ? b ) ? a ? 2 ab ? b , ( a ? b ) ? a ? 2 ab ? b , 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，2 2 2 2 2 2加上（或减去）它们的积的 2 倍。
2、公式中的 a，b 可以是单项式，也可以是多项式。
3、掌握理解完全平方公式的变形公式： （1） a ? b ? ( a ? b ) ? 2 a b ? ( a ? b ) ? 2 a b ? 1 [( a ? b ) ? ( a ? b ) ] 22 2 2 2 2 2（2） ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? 4 a b2 2（3） ab ? 1 [( a ? b ) ? ( a ? b ) ] 42 24、完全平方式：我们把形如: a ? 2 a b ? b , a ? 2 a b ? b , 的二次三项式称作完全平方式。2 2 2 25、当计算较大数的平方时，利用完全平方公式可以简化数的运算。3 6、完全平方公式可以逆用，即： a ? 2 ab ? b ? ( a ? b ) , a ? 2 ab ? b ? ( a ? b ) .2 2 2 2 2 2十五、整式的除法 （一）单项式除以单项式的法则 1、单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对 于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部 分分别进行考虑。
（二）多项式除以单项式的法则 1、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得 的商相加。用字母表示为： ( a ? b ? c ) ? m ? a ? m ? b ? m ? c ? m . 2、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。4 第二章平行线与相交线余角 余角补角 补角 角 两线相交 对顶角 同位角 内错角 同旁内角平 行 线 与 相 交 线三线八角平行线的判定 平行线 平行线的性质 尺规作图一、余角与补角 1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。
2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。
3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。
4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
5、余角和补角的性质用数学语言可表示为： （1） ? 1 ? ? 2 ? 90 (180 ), ?1 ? ? 3 ? 90 (180 ), 则 ? 2 ? ? 3 (同角的余角（或补角）相等)。0 0 0 0（2）? 1 ? ? 2 ? 9 0 (1 8 0 ), ? 3 ? ? 4 ? 9 0 (1 8 0 ), 且 ?1 ? ? 4, 则 ? 2 ? ? 3 (等角的余角（或补角） 相等)。0 0 0 06、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。
二、对顶角 1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。
2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
3、对顶角的性质：对顶角相等。
4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。
5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。
三、同位角、内错角、同旁内角 1、两条直线被第三条直线所截，形成了 8 个角。
2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。
3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。
4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。
5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。
四、六类角 1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。
2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。5 3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。
4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。
五、平行线的判定方法 1、同位角相等，两直线平行。
2、内错角相等，两直线平行。
3、同旁内角互补，两直线平行。
4、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
5、在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。
六、平行线的性质 1、两直线平行，同位角相等。
2、两直线平行，内错角相等。
3、两直线平行，同旁内角互补。
4、平行线的判定与性质具备互逆的特征，其关系如下：在应用时要正确区分积极向上的题设和结论。
七、尺规作线段和角 1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。
2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。
3、尺规作图中直尺的功能是： （1）在两点间连接一条线段； （2）将线段向两方延长。
4、尺规作图中圆规的功能是： （1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆； （2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧； 5、熟练掌握以下作图语言： （1）作射线××； （2）在射线上截取××=××； （3）在射线××上依次截取××=××=××； （4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×； （5）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×； （6）过点×和点×画直线××（或画射线××） ； （7）在∠×××的外部（或内部）画∠×××=∠×××； 6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。
（1）画线段××=××； （2）画∠×××=∠×××；6 第三章生活中的数据生活中的数据单位换算 科学记数法 近似数 精确数 有效数字 精确度 统计图（象形统计图）一、单位换算 1、长度单位： -6 （1）百万分之一米又称微米，即 1 微米=10 米。
-9 （2）10 亿分之一米又称纳米，即 1 纳米=10 米。
3 （3）1 微米=10 纳米。
3 6 9 （4）1 米=10 分米=100 厘米=10 毫米=10 微米=10 纳米。
2、面积单位 -6 2 2 2 2 4 2 6 2 12 2 18 2 （1）10 千米 =1 米 =10 分米 =10 厘米 =10 毫米 =10 微米 =10 纳米 。
3、质量单位 3 6 （1）1 吨=10 千克=10 克。
二、科学计数法表示绝对值小于 1 的较小数据 n 1、用科学计数法表示绝对值小于 1 的较小数据时，也可以表示为 a×10 的形式，其中 1≤〡a〡<10,n 为 负整数，n 等于这个数的第一个不为零的数字前面所有零的个数（包括小数点前面的一个零）的相反数。
三、近似数与精确数 1、精确数是指一个物体或描述一事件的真实数值。
2、近似数是指用测量或统计的方法、四舍五入、估计等得到的数。
3、近似数产生的原因有： （1）由于测量工具和测量方法的局限性不可能得到物体的准确值； （2）有些事件也不可能或没有必要得出它的精确值。
4、近似数 a 的真值的范围大于或等于 a 与它的最末位的半个单位的差而小于 a 与它的最末位的半个单位 的和。例如近似数 1.60 的真值范围为大于或等于 1.595 而小于 1.605。
四、有效数字 1、对于一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫这个数的有 效数字。
n 2、对于科学计数法型的近似数，由 a×10 （1≤〡a〡<10）中的 a 来确定，a 的有效数字就是这个近似数 n 的有效数字。与×10 无关。
3、对带有记数单位的近似数，由数字来确定，与单位无关。
五、近似数的精确度 1、近似数的精确度是近似数精确的程度。
2、近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
3、精确度是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定的。
4、对于单独一个近似数，根据最后一位有效数字在该数中所处的位置直接确定精确度。
5、对用科学记数法表示的数应注意将其还原为原来的数后，再确定其精确度。
6、对带单位的近似数，也要还原为原来的数后再确定其精确度。7 7、对近似数进行取舍时需要注意一般形式与科学记数法形式。
六、统计图（表） 1、条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。
2、折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。
3、扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
4、象形统计图：能直观地反映数据之间的意义。
5、从统计图中获取更多的有用信息，应做到以下几步： （1）审清统计图横轴和纵轴代表的意义，若是象形统计图则要看准每个形象图标代表什么意义； （2）把各部分的数据找出来； （3）以图中读出的信息作为参考（已知） ，推测相关量的变化趋势或规律； （4）对需要计算后回答的信息要准确地进行计算。
6、制作象形统计图 （1）象形统计图比一般的统计图更直观、更简洁生动，极富有个性和情感，但准确性差一些。
（2）制作象形统计图没有固定的格式，需要具有较强的想像力和创造力。
（3）制作象形统计图： 一是要明确制作的统计图的特点； 二是要结合具体问题，分析数据特点和规律，通过设计简明、直观、形象的统计图，加深对问题的理 解。8 第四章概率事件必然事件 不可能事件 不确定事件 游戏的公平性概率等可能性概率概率的定义 几何概率 设计概率模型一、事件 1、事件分为必然事件、不可能事件、不确定事件。
2、必然事件：事先就能肯定一定会发生的事件。也就是指该事件每次一定发生，不可能不发生，即发生 的可能是 100%（或 1） 。
3、不可能事件：事先就能肯定一定不会发生的事件。也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生 的可能性为零。
4、不确定事件：事先无法肯定会不会发生的事件，也就是说该事件可能发生，也可能不发生，即发生的 可能性在 0 和 1 之间。
5、三种事件都是相对于事件发生的可能性来说的，若事件发生的可能性为 100%，则为必然事件；若事件 发生的可能性为 0， 则为不可能事件； 若事件不一定发生， 即发生的可能性在 0∽1 之间， 则为不确定事件。
6、简单地说，必然事件是一定会发生的事件；不可能事件是绝对不可能发生的事件；不确定事件是指有 可能发生，也有可能不发生的事件。
7、表示事件发生的可能性的方法通常有三种： （1）用语言叙述可能性的大小。
（2）用图例表示。
（3）用概率表示。
二、等可能性 1、等可能性：是指几种事件发生的可能性相等。
2、游戏规则的公平性：就是看游戏双方的结果是否具有等可能性。
（1）首先要看游戏所出现的结果的两种情况中有没有必然事件或不可能事件，若有一个必然事件或不可 能事件，则游戏是不公平的； （2）其次如果两个事件都为不确定事件，则要看这两个事件发生的可能性是否相同；即看双方获胜的可 能性是否相同，只有双方获胜的可能性相同，游戏才是公平的。
（3）游戏是否公平，并不一定是游戏结果的两种情况发生的可能性都是二分之一，只要对游戏双方获胜 的事件发生的可能性一样即可。
三、概率 1、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用 P 来表示，P（A）=事件 A 可能 出现的结果数/所有可能出现的结果数。
2、必然事件发生的概率为 1，记作 P（必然事件）=1； 3、不可能事件发生的概率为 0，记作 P（不可能事件）=0； 4、不确定事件发生的概率在 0∽1 之间，记作 0<P（不确定事件）<1。
5、概率是对“可能性”的定量描述，给人以更直接的感觉。9 6、概率并不提供确定无误的结论，这是由不确定现象造成的。
7、概率的计算： （1）直接数数法：即直接数出所有可能出现的结果的总数 n，再数出事件 A 可能出现的结果数 m，利用概 率公式 P ( A ) ?m n直接得出事件 A 的概率。（2）对于较复杂的题目，我们可采用“列表法”或画“树状图法” 。
四、几何概率 1、事件 A 发生的概率等于此事件 A 发生的可能结果所组成的面积（用 SA 表示）除以所有可能结果组成图 形的面积（用 S 全表示） ，所以几何概率公式可表示为 P（A）=SA/S 全，这是因为事件发生在每个单位面积上 的概率是相同的。
2、求几何概率： （1）首先分析事件所占的面积与总面积的关系； （2）然后计算出各部分的面积； （3）最后代入公式求出几何概率。
五、设计概率模型（游戏或事件） 1、设计符合要求的简单概率模型（游戏或事件）是对概率计算的逆向运用。
2、设计通常分四步： （1）首先分析设计应符合什么条件； （2）其次确定选用什么图形表示更合理； （3）然后再按一定要求和操作经验来设计模型； （4）最后再通过计算或其他方法来验证设计的模型是否符合条件。10 第五章三角形三角形三角形三边关系 三角形 三角形内角和定理 角平分线 三条重要线段 中线 高线 全等图形的概念 全等三角形的性质 SSS SAS 全等三角形 全等三角形的判定 ASA AAS HL（适用于 RtΔ ） 全等三角形的应用 作三角形 利用全等三角形测距离一、三角形概念 1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ ”表示。
2、顶点是 A、B、C 的三角形，记作“Δ ABC” ，读作“三角形 ABC” 。
3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边 AB、BC、AC，有时也用 a，b，c 来表示，顶点 A 所对的 边 BC 用 a 表示，边 AC、AB 分别用 b，c 来表示； 4、∠A、∠B、∠C 为 Δ ABC 的三个内角。
二、三角形中三边的关系 1、三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为 a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b<c,a-c<b,b-c<a。
2、判断三条线段 a,b,c 能否组成三角形： （1）当 a+b>c,a+c>b,b+c>a 同时成立时，能组成三角形； （2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即a?b ? c ? a?b.三、三角形中三角的关系 0 1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180 。
2、三角形按内角的大小可分为三类： （1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形； （2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ ”表示“直角三角形”,其中直角∠C 所对的边 AB 称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。
注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。11 4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。
0 5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和三内角之和为 180 的性质。
6、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。
四、三角形的三条重要线段 1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。
2、三角形的角平分线： （1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角 平分线。
（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。
3、三角形的中线： （1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。
4、三角形的高线： （1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简 称为三角形的高。
（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。
区 中 线 平分对边 平分内角 垂直于对 边（或其延 长线） 角平分线 高 线 别 相 同 三条中线交于三角形内部 三条角平分线交于三角表内部 锐角三角形：三条高线都在三角形内部 直角三角形：其中两条恰好是直角边 钝角三角形：其中两条在三角表外部 （1）都是线段 （2）都从顶点画出 （3）所在直线相交于一点五、全等图形 1、两个能够重合的图形称为全等图形。
2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。
3、全等图形的面积或周长均相等。
4、判断两个图形是否全等时，形状相同与大小相等两者缺一不可。
5、全等图形在平移、旋转、折叠过程中仍然全等。
6、全等图形中的对应角和对应线段都分别相等。
六、全等分割 1、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。
2、对一个图形全等分割： （1）首先要观察分析该图形，发现图形的构成特点； （2）其次要大胆尝试，敢于动手，必要时可采用计算、交流、讨论等方法完成。
七、全等三角形 1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于” 。
2、用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。这是今后证明边、角相等的重要依据。
4、两个全等三角形，准确判定对应边、对应角，即找准对应顶点是关键。
八、全等三角形的判定 1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” 。
2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA” 。
3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS” 。
4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS” 。
5、注意以下内容 （1）三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组边对应相等。12 （2）三边对应相等，两边及夹角对应相等，一边及任意两角对应相等，这样的两个三角形全等。
（3）两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等。
6、熟练运用以下内容 （1）熟练运用三角形判定条件，是解决此类题的关键。
（2）已知“SS” ，可考虑 A：第三边，即“SSS” ；B：夹角，即“SAS” 。
（3）已知“SA” ，可考虑 A：另一角，即“AAS”或“ASA” ；B：夹角的另一边，即“SAS” 。
（4）已知“AA” ，可考虑 A：任意一边，即“AAS”或“ASA” 。
7、三角形的稳定性：根据三角形全等的判定方法（SSS）可知，只要三角形三边的长度确定了，这个三角 形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
九、作三角形 1、作图题的一般步骤： （1）已知，即将条件具体化； （2）求作，即具体叙述所作图形应满足的条件； （3）分析，即寻找作图方法的途径（通常是画出草图） ； （4）作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程； （5）证明，即验证所作图形的正确性（通常省略不写） 。
2、熟练以下三种三角形的作法及依据。
（1）已知三角形的两边及其夹角，作三角形。
（2）已知三角形的两角及其夹边，作三角形。
（3）已知三角形的三边，作三角形。
十、利用三角形全等测距离 1、利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的 性质（对应边相等） ，把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易测量的线段的长度，从而得 到被测距离。
2、运用全等三角形解决实际问题的步骤： （1）先明确实际问题应该用哪些几何知道解决； （2）根据实际问题抽象出几何图形； （3）结合图形和题意分析已知条件； （4）找到解决问题的途径。
十一、直角三角形全等的条件 1、 在直角三角形中， 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等， 简写成 “斜边、 直角边” “HL” 或 。
2、 “HL”是直角三角形特有的判定条件，对非直角三角形是不成立的； 3、书写时要规范，即在三角形前面必须加上“Rt”字样。
十二、分析-综合法 1、我们在平时解几何题时，采用的解题方法通常有两种，综合法与分析法。
2、综合法：从问题的条件出发，通过分析条件，依据所学知识，逐步探索，直到得出问题的结论。
3、分析法：从问题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件。
4、在具体解题中，通常是两种方法结合起来使用，既运用综合法，又运用分析法。13 第六章变量之间的关系自变量 变量的概念 因变量 变量之间的关系 变量的表达方法 表格法 关系式法 速度时间图象 图象法 路程时间图象一、变量、自变量、因变量 1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2、如果一个变量 y 随另一个变量 x 的变化而变化，则把 x 叫做自变量，y 叫做因变量。
3、自变量与因变量的确定： （1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。
（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
（3）利用具体情境来体会两者的依存关系。
二、表格 1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。
（1）首先要明确表格中所列的是哪两个量； （2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量； （3）结合实际情境理解它们之间的关系。
2、绘制表格表示两个变量之间关系 （1）列表时首先要确定各行、各列的栏目； （2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量； （3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位； （4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。
（5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间 的关系。
三、关系式 1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变 量（也用字母表示） ，这样的数学式子（等式）叫做关系式。
2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。
3、求两个变量之间关系式的途径： （1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。
（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式； （3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式； （4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。
4、关系式的应用： （1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；14 （2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值； （3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值） 。
四、图象 1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。
2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。
3、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向 的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。
4、图象上的点： （1）对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值； （2）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。
（3）由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点作横轴的垂 线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。
（4）把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。
5、图象理解 （1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量； （2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据） ； （3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。
五、速度图象 1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间； 2、准确读懂不同走向的线所表示的意义： （1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加； （2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止； （3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。
六、路程图象 1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间； 2、准确读懂不同走向的线所表示的意义： （1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点） ； （2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止； （3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点） 。
七、三种变量之间关系的表达方法与特点： 表达方法 表格法 关系式法 图象法 特 点 多个变量可以同时出现在同一张表格中 准确地反映了因变量与自变量的数值关系 直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势15 第七章 生活中的轴对称 轴对称图形 轴对称分类 轴对称 角平分线 线段的垂直平分线 等腰三角形 等边三角形 轴对称的性质 轴对称的性质 镜面对称的性质 图案设计 轴对称的应用 镶边与剪纸轴对称实例生活中的轴对称一、轴对称图形 1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这 条直线叫做对称轴。
2、理解轴对称图形要抓住以下几点： （1）指一个图形； （2）存在一条直线（对称轴） ； （3）图形被直线分成的两部分互相重合； （4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条； （5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形； 二、轴对称 1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就 是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。
2、理解轴对称应注意： （1）有两个图形； （2）沿某一条直线对折后能够完全重合； （3）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形； （4）对称轴是直线而不是线段； 轴对称图形 区别 共同点 是一个图形自身的对称特性 对称轴可能不止一条 沿某条直线对折后都能够互相重合 如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形； 如果把轴对称图形分成两部分（两个图形） ，那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
三、角平分线的性质16轴对称 是两个图形之间的对称关系 对称轴只有一条 1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
四、线段的垂直平分线 1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。
2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
五、等腰三角形 1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边； 3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角； 4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。
5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外） ，其底边上的高或顶角的平分线，或底边 上的中线所在的直线都是它的对称轴。
6、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。
7、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一” 。
8、 “三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。
9、 “三线合一”是等腰三角形特有的性质，是指其顶角平分线，底边上的高和中线，这三线，并非其他。
10、等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角” 。
11、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法： （1）两条边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等相等，简写为“等角对等边” 。
六、等边三角形 1、等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形，是最特殊的三角形。
2、等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。
3、等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。
0 4、等边三角形的三边都相等，三个内角都是 60 。
图形 定义 性质等腰三 角形有两边 相等的 三角形1、两腰相等，两底角相等。
0 0 2、顶角=180 -2×底角。底角=（180 -顶角）/2。
3、顶角的平分线、底边上的中线和高“三线合一” 。
4、轴对称图形，有一条对称轴。等 边 三 角形（又 叫 正 三 角形）三边都 相等的 三角形1、 三边都相等， 三内角相等， 且每个内角都等于 60 。
2、具有等腰三角形的所有性质。
3、轴对称图形，有三条对称轴。0七、轴对称的性质 1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点） ，能够重合的线段称为对应线段，能 够重合的角称为对应角。
2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。17 3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。
5、类似地，轴对称图形的性质有： （1）轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
（2）轴对称图形的对应线段、对应角相等。
（3）根据轴对称图形的性质可求作轴对称图形的对应点、对应线段或对应角，并由此能补全轴对称图形。
八、图案设计 1、作出简单平面图形经过轴对称后的图形，实际上是轴对称图形的性质的灵活运用。
2、作出简单平面图形经过轴对称后的图形的步骤: （1）首先要确定一个简单平面图形上的几个特殊点； （2）然后利用轴对称的性质，作出其相应的对称点（对应点所连的线段被对称轴垂直平分） 。
（3）分别连接其对称点，则可得其对称图形。
3、表达方式（以点 M 为例） ： （1）过点 M 作对称轴 l 的垂线，垂足为 A； ’ ’ ’ （2）延长 MA 到 M 到，使 M A=MA，则点 M 就是点 M 关于直线 l 的对称点。
’ （3）在复杂的作图中，也可以叙述为：作出点 M 关于直线 l 的对称点 M . 4、在运用轴对称设计图案时，就注意以下几点： （1）要有明确的设计意图； （2）创意要新颖独特； （3）设计出的图案要符合要求； （4）能清楚地表达自己的设计意图和制作过程。
5、图案的设计除采用对称的手段外，通常还综合采用旋转、倒置、重复等手段和形式。
6、设计的图案要美观、大方，积极向上，反映时代特色。
九、镜面对称 1、镜面对称的有关性质： （1）任何一个平面图形（物体）在镜子中的像与它是可以重合的。因此，一个轴对称图形在镜子中的像 仍是轴对称图形。
（2）若一个平面图形正对镜面，则其左（右）侧在镜中的像是其右（左）侧； （3）若一个平面图形（物体）垂直于镜面摆放，则靠近镜面的部分，其像也靠近镜面； 2、关于数字 0、1、3、8 在镜面中像的两个结论： （1）如果写数字的纸条垂直于镜面摆放，则纸条上写的 0、1、3、8 所成的像与原来的数字完全一样。
（2）如果纸条正对镜面摆放，则纸条上写的 0、1、8 这三个数字在镜中的像和原来的数字完全一样。
3、像与物体到镜面的距离相等。
4、像与物体的对应点连线被镜面垂直平分。
5、由镜中的时间来判断真实时间是近几年来中考的一个热点。时间的表示有用一般数字表示的，也有直 接用钟表来表示的。在判断时，大家要注意灵活利用镜面对称的知识来加以解决。18
北师大初一下册数学知识框架2
数学 七年级下册刘 阳第二章平行线与相交线余角 余角补角 补角 角 两线相交 对顶角 同位角 内错角 同旁内角平 行 线 与 相 交 线三线八角平行线的判定 平行线 平行线的性质 尺规作图一、平行线与相交线 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。
二、余角与补角 1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。
2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。
3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。
4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
5、余角和补角的性质用数学语言可表示为： （1） ?1 ? ?2 ? 900 (1800 ), ?1 ? ?3 ? 900 (1800 ), 则 ?2 ? ?3 (同角的余角（或补角）相等)。
（2）?1 ? ?2 ? 90 (180 ), ?3 ? ?4 ? 90 (180 ), 且 ?1 ? ?4, 则 ?2 ? ?3 (等角的余角（或补角） 相等)。0 0 0 06、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。
三、对顶角 1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。
2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
3、对顶角的性质：对顶角相等。
4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。
5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。
四、垂线及其性质 1、垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。1 数学 七年级下册刘 阳2、垂线的性质： 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
五、同位角、内错角、同旁内角 1、两条直线被第三条直线所截，形成了 8 个角。
2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。
3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。
4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。
5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。
六、六类角 1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。
2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。
3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。
4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。
七、平行线的判定方法 1、同位角相等，两直线平行。
2、内错角相等，两直线平行。
3、同旁内角互补，两直线平行。
4、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
5、在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。
八、平行线的性质 1、两直线平行，同位角相等。
2、两直线平行，内错角相等。
3、两直线平行，同旁内角互补。
4、平行线的判定与性质具备互逆的特征，其关系如下：在应用时要正确区分积极向上的题设和结论。
九、尺规作线段和角 1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。
2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。
3、尺规作图中直尺的功能是： （1）在两点间连接一条线段； （2）将线段向两方延长。
4、尺规作图中圆规的功能是： （1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆； （2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧； 5、熟练掌握以下作图语言： （1）作射线××；2 数学 七年级下册刘 阳（2）在射线上截取××=××； （3）在射线××上依次截取××=××=××； （4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×； （5）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×； （6）过点×和点×画直线××（或画射线××） ； （7）在∠×××的外部（或内部）画∠×××=∠×××； 6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。
（1）画线段××=××； （2）画∠×××=∠×××；第五章一、知识网络结构相交线与平行线二、知识要点1 、在同一平面 内， 两条直线的 位 置 关 系 有 两 种： 相交? ?相交线 ? ? ?相交线?垂线 ?同位角、内错角、同旁 ? 内角 ? ? ? ?平行线：在同一平面内 ，不相交的两条直线叫 平行线 ? ? ? __________ ________ ?定义 : __________ ? ? ? ? 线平行 ?平行线及其判定? ?判定1 ：同位角相等，两直 ? ? ? 线平行 ?平行线的判定?判定2 ：内错角相等，两直 ? ? ? ? 相交线与平行线? 判定3 ：同旁内角互补，两 直线平行 ? ? ? ? 判定 4 ：平行于同一条直线 的两直线平行 ? ? ? ? ? ?性质1：两直线平行，同位角 相等 ? ? ? 相等 ?性质2：两直线平行，内错角 ? ? 角互补 ?平行线的性质?性质3：两直线平行，同旁内 ?性质4：平行于同一条直线的两直线平行 ? ? ? ? ? ?命题、定理 ? ? ?平移和 平行 ， 垂 直 是相交的一 种特殊情况。
2 、在同一平面 内， 不相交的两 条直线叫 平行 线 。如果两条直线只有 一个 公共点，称这两条直线相交；如果两条直线 没有 公共点，称这两条直线平行。
3、两条直线相交所构成的四个角中，有 公共顶点 且有 一条公共边 的两个角是 邻补角。邻补角的性质： 邻补角互补 。如图 1 所示， 与 + 互为邻补角。
= 180°。
+ = 180°； + 与 互为邻补角， = 180°； + = 180°；4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线 ，这样的两个角互为 对顶角 。
对顶角的性质：对顶角相等。如图 1 所示， = 。
与 互为对顶角。
= ；5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是 直角或 90°时，称这两条直线互相垂直， 其中一条叫做另一条的垂线。如图 2 所示，当 = 90°时， ⊥ 。
a b 2 1 34 图2 3 数学 七年级下册刘 阳垂线的性质： 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
性质 3：如图 2 所示，当 a ⊥ b 时， = = = = 90°。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。
6、同位角、内错角、同旁内角基本特征： ①在两条直线(被截线)的 同一方 ，都在第三条直线(截线)的 同一侧 ，这样 a 的两个角叫 同位角 。图 3 中，共有 与 是同位角； 与 对同位角： 是同位角； 与 与 是同位角； 是同位角。
图3 对内错角： c 32 41 7 b6 85②在两条直线(被截线) 之间 ，并且在第三条直线(截线)的 两侧 ，这样的两个角叫 内错角 。图 3 中，共有 与 是内错角； 与 是内错角。③在两条直线(被截线)的 之间 ，都在第三条直线(截线)的 同一旁 ，这样的两个角叫 同旁内角 。图 3 中，共有 旁内角： 与 是同旁内角； 与 是同旁内角。对同7、平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的性质： 性质 1：两直线平行，同位角相等。如图 4 所示，如果 a∥b， 则 = ； = ； = ； = 。
= + ； c a 2 3 4 1 b 图4 = = 180°； 。76 85性质 2：两直线平行，内错角相等。如图 4 所示，如果 a∥b，则 性质 3：两直线平行，同旁内角互补。如图 4 所示，如果 a∥b，则+= 180°。
∥ c = a 。
2 3 4 1 b性质 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果 a∥b，a∥c，则 8、平行线的判定： 判定 1：同位角相等，两直线平行。如图 5 所示，如果 或 = 或 = 或 =6 7 8 5，则 a∥b。
= + 或 =图5 ，则 a∥b 。判定 2：内错角相等，两直线平行。如图 5 所示，如果 判定 3：同旁内角互补，两直线平行。如图 5 所示，如果= 180°；+= 180°，则 a∥b。
∥ 。判定 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果 a∥b，a∥c，则9、判断一件事情的语句叫命题。命题由 题设 和 结论 两部分组成，有 真命题 和 假命题 之分。如果题设成立，那么结 4 数学 七年级下册刘 阳论 一定 成立，这样的命题叫 真命题 ；如果题设成立，那么结论 不一定 成立，这样的命题叫假命题。真命题的正确性 是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据。
10、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
平移后，新图形与原图形的 形状 和 大小 完全相同。平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到 的，这样的两个点叫做对应点。
平移性质：平移前后两个图形中①对应点的连线平行且相等；②对应线段相等；③对应角相等。第八章一、知识网络结构二元一次方程组二、知识要点? ?定义 ?二元一次方程? ?方程的解 ? ? 定义 ?二元一次方程组? ? ? ?方程组的解 ? 二元一次方程组? ?代入法 ?二元一次方程组的解法? ?加减法 ? ?二元一次方程组与实际问题 ? ? ? ?三元一次方程组解法1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。
2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为ax ? by ? c ( a、b、c 为常数，并且 a ? 0， b ? 0 )。使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。
3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，这样的方程组叫二元一次方程组。使二元一次方程组每个 方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。
4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则 将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出 的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一 个方程，求出另外一个未知数的值。
5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数， 就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一 个未知数； （3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； （4）将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求 出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。
6、解三元一次方程组的一般步骤：①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；②利用代入法或加减法， 把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程 组；③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第 三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。知识点一：二元一次方程的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1? 的整式方程叫做二元一次方程． 二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个5 数学 七年级下册刘 阳解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的 值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集． 二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二 元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．1、已知方程：①2x+4 =3；②5xy-1=0；③2x+y=2；④3x-y+z=0；⑤2x-y=3；⑥x+3=5，? 其中是二元一次方程的有___ _____________． （填序号即可） 2、指出下列方程那些是二元一次方程？并说明理由。
（1）3x+y=z+1 ( ) ( ) ）2 ?1 ? 3 ③ a?b(2) x(y+1)=6()(3) 2x(3-x)=x2-3(x2+y)5 ? 2n ? 12 ① m3、下列方程中，是二元一次方程的有（7 11 y ? z ? ?a 6 ② 4④ mn+m=74、写出一组二元一次方程 x＋2y=2 的解（ ） 5、方程（a＋2）x +(b-1)y = 3 是二元一次方程，试求 a、 b 的取值范围.6、求二元一次方程 3x＋2y＝19 的正整数解.7、已知 x＝2，y＝2 是方程 ax－2y＝4 的解，则 a＝________. 8、已知方程 x－2y＝8，用含 x 的式子表示 y，则 y =_________________，用含 y 的式子表 示 x，则 x =________________ 9、若 x、y 互为相反数，且 x＋3y＝4，,3x－2y＝_____________.知识点二：二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表 示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二 元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法． 加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或6 数学 七年级下册刘 阳相差， 从而消去这个未知数， 得到一个一元一次方程， 这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法， 简称加减法． 1.用代入法解方程组 ? 程 ，求得? 2 x ? y ? ?3⑴ ，较简便的解法步骤是：先把方程 ⑵ ?3x ? 7 y ? 10的值；变成，再代入方的值。然后再求2、解下列方程组：?3x ? 5 y ? 8 （1） ? 用代入法 ?2 x ? y ? 1?4 x ? 5 y ? 27 2)、 ? ?10 x ? 3 y ? 20用加减法4.已知 | a ? b ? 2 | ?(b ? 3)2 ? 0 ,那么 ab ? ______? x ? 3m ? 1 5、若 ? ? y ? 2m ? 2，是方程组 4 x ? 3 y ? 10 的一组解，求 m 的值。6、已知方程组 ?? ax ? by ? 4 ? ax ? by ? 2 与? 的解相同，求 a ? b ? . ?2 x ? 3 y ? 4 ?4 x ? 3 y ? 27、若方程组 ??x ? y ? 2 的解 x 与 y 相等，求 k 的值． ( k ? 1) x ? ( k ? 1) y ? 4 ?8、已知代数式 x ＋bx＋c，当 x＝－3 时，它的值为 9，当 x＝2 时，它的值为 14，当 x＝－8 时，求代数 式的值。72 数学 七年级下册刘 阳知识点三：二元一次方程组的应用列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即： （1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个 未知数； （2）找：找出能够表示题意两个相等关系； （3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值； （5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案. 一、数字问题 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大 9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位 数比原两位数大 27，求这个两位数．二、利润问题 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利 20%；如果打八折出售可以盈利 10 元，问此商品的定价是 多少？三、配套问题 例 3 某厂共有 120 名生产工人，每个工人每天可生产螺栓 25 个或螺母 20 个，如果一个螺栓与两个 螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成 最多套？8 数学 七年级下册刘 阳四、行程问题 甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边 300 米，若甲、乙两人同时向东走 30 分钟后，甲正 好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2 分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少？五、货运问题 典例 5 某船的载重量为 300 吨，容积为 1200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨 体积为 6 立方米，乙种货物每吨的体积为 2 立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应 各装多少吨？六、工程问题 某牛奶加工厂现有 100 吨鲜牛奶准备加工后上市销售，该工厂的加工能力是，如果制成奶片每天可加工鲜 奶 10 吨，如果制成酸奶每天可加工鲜奶 30 吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限 制，这批牛奶必须在 4 天内全部加工完毕．该厂应安排几天制奶片，几天制酸奶，才能使任务在 4 天内正 好完成？如果制成奶片销售每吨奶可获利 2 000 元，制成酸奶销售每吨奶可获利 1 200 元，那么该厂出售 这些加工后的鲜牛奶共可获利多少元？9 数学 七年级下册刘 阳知识点四：解三元一次方程组1．若 2xm+n 1－3ym－ －n－3+5z=0 是关于 x，y、z 的三元一次方程，则 m=_____，n=_____．七年级下数学 整式的乘除复习【知识点归纳】 1.单项式的概念： 由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因 数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
如： ? 2a bc 的 系数为 ? 2 ，次数为 4，单独的一个非零数的次数是 0。22.多项式： 几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如： a ? 2ab ? x ? 1，项有 a 、 ? 2ab 、 x 、1，二次项为 a 、 ? 2ab ，一次项为 x ，常数项为 1，2 2 2各项次数分别为 2，2，1，0，系数分别为 1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：10 数学 七年级下册刘 阳如： x 3 ? 2x 2 y 2 ? xy ? 2 y 3 ? 1 按 x 的升幂排列： ? 1 ? 2 y 3 ? xy ? 2x 2 y 2 ? x 3 按 x 的降幂排列： x 3 ? 2x 2 y 2 ? xy ? 2 y 3 ? 1 按 y 的升幂排列： ? 1 ? x 3 ? xy ? 2x 2 y 2 ? 2 y 3 按 y 的降幂排列： ? 2 y 3 ? 2x 2 y 2 ? xy ? x 3 ? 1 5、同底数幂的乘法法则： a ? a ? am n m? n（ m, n 都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。
如： (a ? b) 2 ? (a ? b) 3 ? (a ? b) 5 6、幂的乘方法则： (a m ) n ? a mn （ m, n 都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如： (?35 ) 2 ? 310 幂的乘方法则可以逆用：即 a mn ? (a m ) n ? (a n ) m 如： 46 ? (4 2 ) 3 ? (43 ) 2 7、积的乘方法则： (ab) n ? a n b n （ n 是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。
如： （ ? 2x y z) = (?2) ? ( x ) ? ( y ) ? z ? ?32x y z3 2 5 5 3 5 2 5 5 15 10 58、同底数幂的除法法则： a ? a ? am nm? n（ a ? 0, m, n 都是正整数，且 m ? n)4 3 3 3同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： (ab) ? (ab) ? (ab) ? a b 9、零指数和负指数；a 0 ? 1 ，即任何不等于零的数的零次方等于 1。11 数学 七年级下册刘 阳a?p ?如： 21 （ a ? 0, p 是正整数） ，即一个不等于零的数的 ? p 次方等于这个数的 p 次方的倒数。
ap?31 1 ? ( )3 ? 2 8?610、科学记数法：如：0.00000721=7.21 ? 10 （第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方） 11、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式 里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意： ①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如： ? 2 x 2 y 3 z ? 3xy ? 12、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即 m(a ? b ? c) ? ma ? mb ? mc ( m, a, b, c 都是单项式) 注意： ①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。] 如： 2 x(2 x ? 3 y) ? 3 y( x ? y) 13、多项式与多项式相乘的法则； 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。12 数学 七年级下册刘 阳如：(3a ? 2b)(a ? 3b) ( x ? 5)(x ? 6)14、平方差公式： (a ? b)(a ? b) ? a 2 ? b 2 注意平方差公式展开只有两项 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边 是相同项的平方减去相反项的平方。
如： ( x ? y ? z )(x ? y ? z ) 15、完全平方公式： (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方， 而另一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍。
注意：a 2 ? b 2 ? (a ? b) 2 ? 2ab ? (a ? b) 2 ? 2ab (a ? b) 2 ? (a ? b) 2 ? 4ab (?a ? b) 2 ? [?(a ? b)]2 ? (a ? b) 2 (?a ? b) 2 ? [?(a ? b)]2 ? (a ? b) 2完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的 2 倍。
16、三项式的完全平方公式：(a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc17、单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它 的指数作为商的一个因式。
注意：首先确定结果的系数（即系数相除） ，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数作为商的一个因式 如： ? 7a b m ? 49a b2 4 213 数学 七年级下册刘 阳18、多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
即： (am ? bm ? cm) ? m ? am ? m ? bm ? m ? cm ? m ? a ? b ? c . 【历年考点分析】 整式的运算是初中数学的基础,是中考中的一个重点内容.和整式有关的考点主要涉及以下几个方面： 1.幂的运算;2.整式的乘法运算;3.因式分解.具体分析如下: 考点 1:幂的有关运算 例 1 下列运算中,计算结果正确的是（ (A)a4·a3=a12 (B)a6÷a3=a2 ）(C)(a3)2=a5 (D)(-ab2)2=a2b4.分析:幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算。幂的运算是整 式乘除运算的基础。准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则。
解：根据同底数幂的乘法运算法则知 a4·a3=a4+3=a7，所以（A）错；根据同底数幂的除法法则知 a6÷ a3=a6-3=a3。所以（B）错；根据幂的乘方运算法则知(a3)2=a3 2=a6，所以（C）错；所以选（D） 。×考点 2:整式的乘法运算 例 2 计算：(a2＋4)(a-3)-a(a2-3a-3). 分析:本题是一道整式乘法综合计算题,解题时应先算乘法,然后再算加减,,注意其去括号时符号的变化. 解：(a2＋4)(a-3)-a(a2-3a-3) =a3-3a2＋4a-12-a3＋3a2＋3a =7a－12. 例 3 如图 1 所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图：则第 n 个图形中需用 黑色瓷砖______块.（用含 n 的代数式表示）.14 数学 七年级下册刘 阳（1） 图1（2）（3）??（n）分析:观察发现,第 1 个图形有黑色瓷砖 3×5-3×1(块);第 2 个图形有黑色瓷砖 4×6-2×4(块);第 3 个图 形有黑色瓷砖 5×7-3×5(块),依次类推,第 n 个图形有(n+4)(n+2)-n(n+2)块. 解:(n+4)(n+2)-n(n+2)=n2+4n+2n+8-n2-2n=4n+8. 考点 3:乘法公式 例 5 先化简，再求值:(x+y)(x-y)+(x-y)2-(x2-3xy).其中 x=2,y=1 . 2分析:本题是一道综合计算题,主要在于乘法公式的应用,化简时还有注意去括号符号的变化. 解: (x+y)(x-y)+(x-y)2-(x2-3xy)=x2-y2+x2-2xy+y2-x2+3xy=x2+xy. 当 x=2,y=1 1 时,原式=22+2× =4+1=5. 2 2.例 6 若整式 4x 2 ? Q ? 1 是一个整式的平方，请你写满足条件的单项式 Q 是分析：本题是一道结论开放题，由于整式包括单项式和多项式，所以可分类讨论可能出现的情况， 当 4x 2 ? Q ? 1 是一个单项式的平方时，Q=4x 或-4x 或 4x4；当 4x 2 ? Q ? 1 是一个单项式的平方时，Q=-1 或-4x2， 解:可填 4x 或-4x 或 4x4 或-4x2 或-1. 考点 4: 整式的除法运算 例 7 先化简,再求值:[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x,其中 x=3,y=1.5. 分析:本题的一道综合计算题,首先要先算括号的,为了计算简便,要注意乘法公式的使用,然后在进行 整式的除法运算,最后代入求值. 解: [(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x=(x2-2xy+y2+x2-y2)÷2x =(2x2-2xy)÷2x=x-y. 当 x=3,y=1.5 时,原式=3-1.5=1.5. 考点 6:因式分解15 数学 七年级下册刘 阳例 8 观察下列等式： 12+2×1=1×(1+2), 22+2×2=2×(2+2), 32+2×3=3×(3+2), ?? 则第 n 个式子可以表示为:_________. 分析:观察已知各等式,可以发现,等式的左边是两项,第 1 项是是从 1 开始的整数的平方,第 2 项是 2 与这 个整数的乘积,所以左边可用一般式子表示为 n2+2n(n≥1 的整数),每一项等式的右边是这个整数乘以这个整 数与 2 的和的积,所以可用一般的式子表示为 n(n+2),所以第 n 个等式为 n2+2n=n(n+2).本题实际是因式分解 的变式应用. 解: n2+2n=n(n+2).复习整式的乘除一. 教学目标和要求： 1. 熟练掌握整式乘除的有关概念和运算法则。
2. 熟练地、灵活地运用乘法公式和整式乘除法法则进行计算。
二. 教学重、难点： 1. 重点： 整式的乘除法 2. 难点：灵活运用乘法公式进行计算 三. 知识要点： 1. 知识结构总结：2. 公式总结： （1）幂的运算性质： ① ② ③ ④ （ ） （ （ （ （ 、 为正整数） 为正整数） 、 为正整数） 、 为正整数，且 ）（ ， 为正整数） （2）整式的乘法公式： ①16 数学 七年级下册刘 阳② ③ 3. 科学记数法 ，其中 4. 思想方法总结 （1）化归方法 （2）整体代换的方法 （3）逆向变换的方法 5. 需注意的问题 （1）乘法公式作为多项式乘法的特殊形式，在今后学习中有着广泛应用，要注意这些公 式的结构特点，以便正确使用公式。
（2）注意运算中的符号，区别 【典型例题】 ⒈幂的运算3 p3 ?与，，⑴ ⑷5 2 p 6?? 6ab ?? ?? a ?3 2(?6a 4b2 ) ? (?2a)2= =； ⑵4 3=7；⑶ ==?a ?2 3? a5⑸?2 ?10 ?? ?5?10 ??102.乘法公式 计算：⑴（2x+3）(3x-1) ⑵t2-(t+1)(t-5) ⑶ (3m-n)(n+3m)4 2 3 2 2 2 x y )? x y 5 5⑷ (a+2b)2⑸(3x-2y)2(? x3 y 2 ?⑹例, 计算:1、(a－2b)2－(a＋2b)22、(a＋b＋c)(a－b－c)2 练习,1、 ?a ? b ? c?2、20082－2009×2007３、 (2a-b)2(b+2a)23.整式的乘除 [例 1] 已知 ，求 的值。[例 2] 已知，，求的值。[例 3]已知，求的值。17 数学 七年级下册刘 阳[例 4] 已知，，求的值。例5已知a+b=5 ab=3 求a2 ? b2 , a ? b的值练习 1 若 am=10bn=5 求 2m+b3n2 已知a ?1 1 ? 1求a 2 ? 2 的值 a a3 己知 x+5y=6 , 求 x2+5xy+30y 的值。七，小结：本节重点 符号语言， 运算法则， 公式,转化，整体思想。因式分解(1) 3x ? 12x 3 (2) 9?a ? b? ? 16?a ? b?2 2(3) ? 3x 3 ? 12x 2 y ? 12xy 2(4) 4 x 2 ? 12x ? 9(5) ( x 2 ? 1) 2 ? 4x 2(6) m?x ? y ? ? x ? y2(7)12a2b(x－y)－4ab(y－x)(8)x2－11x＋24(9)x?－3xy＋2y?（10） m2 ? n2 ? 3m ? 3n（11） x2 ? 2xy ? y 2 ? 4(12)a2-b2+2bc-c218 数学 七年级下册刘 阳小结：因式分解的基本方法： （提公因式法、公式法、十字相乘法） 对一个多项式进行因式分解，首先观察此多项式是否有公因式可提，如果有，先要提取 公因式，如果没有，则考虑能否利用公式法进行因式分解，一直分解到不能再分解为止。
（注 意：一般对于项数超过三项的多项式，在没有公因式可提的情况下，必须先进行适当分组， 再用提公因式法和公式法进行分解。
）【模拟试题】 一. 填空： 1. 计算 2. 已知 3. 4. （ 为偶数） ， ，则5. 0.00010490 用科学记数法表示为 6. 7. 8. 9. 10. 若 二. 选择题： 1. 若 A. 4 2. 如果 A. 3. A. B. ， B. 5 ，则 C. 8 （ D. 16 ） D. ） D. 2 整除，那么整数 D. 的值为（ ）19，那么），那么 =（ C.所得结果是（ B. C. 能被 C.4. 已知 为正整数，若 A. 5. 要使 B.的取值范围是（）成为一个完全平方式，则 数学 七年级下册刘 阳A.B.C.D. ）6. 下列各式能用平方差公式计算的是（ A. C. 7. 下列计算不正确的是（ A. C. 8. A. C. 三. 解答题： 1. 计算： （1） 为有理数，那么 与 B. B. D. ） B. D.的大小关系为（）D. 前面三种答案都可能（2）（3）（ 为正整数）（4）2. 化简求值： 已知 ，求 的值。4. 若，求的值。20 数学 七年级下册刘 阳5. 已知，求的值。第六章因式分解知识点回顾 1、 因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
因式分解和整式乘法互为逆运算 2、常用的因式分解方法： （1）提取公因式法： ma ? mb ? mc ? m(a ? b ? c) （2）运用公式法： 平方差公式： a 2 ? b 2 ? (a ? b)(a ? b) ； 完全平方公式： a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2 （3）十字相乘法： x 2 ? (a ? b) x ? ab ? ( x ? a)(x ? b) （4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。
（5）运用求根公式法：若 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个根是 x1 、 x2 ，则有：ax2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )(x ? x2 )因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。
（4）最后考虑用分组分解法 考点一、因式分解的概念 因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
因式分解和整式乘法互为逆运算 1、下列从左到右是因式分解的是（ ） 2 2 2 A. x(a-b)=ax-bx B. x -1+y =(x-1)(x+1)+y 2 C. x -1=(x+1)(x-1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c2 2 2 2、若 4a ? kab ? 9b 可以因式分解为 (2a ? 3b) ，则 k 的值为______2 3、已知 a 为正整数，试判断 a ? a 是奇数还是偶数？2 4、已知关于 x 的二次三项式 x ? mx ? n 有一个因式 ( x ? 5) ，且 m+n=17，试求 m，n 的值21 数学 七年级下册刘 阳考点二提取公因式法提取公因式法： ma ? mb ? mc ? m(a ? b ? c) 公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式 找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数 2、字母是相同字母 3、字母的次数-相同字母的最低次数 习题 1、将多项式 20a3b2 ? 12a 2bc 分解因式，应提取的公因式是（ A、ab2 B、 4a b）C、 4ab2 D、 4a bc2、已知 (19 x ? 31)(13x ? 17) ? (13x ? 17)(11x ? 23) 可因式分解为 (ax ? b)(8x ? c) ，其中 a，b，c 均为整 数，则 a+b+c 等于（ ） A、-12 B、-32 3、分解因式 （1） 6a(a ? b) ? 4b(a ? b)C、38D、72 （2） 3a( x ? y) ? 6b( y ? x)n n ?1 n ?2 （3） x ? x ? x（4） (?3)2011 ? (?3)20104、先分解因式，在计算求值 （1） (2 x ?1)2 (3x ? 2) ? (2 x ?1)(3x ? 2)2 ? x(1 ? 2 x)(3x ? 2) 其中 x=1.5（2） (a ? 2)(a ? a ? 1) ? (a ?1)(2 ? a)2 2其中 a=184 2 2 2 5、已知多项式 x ? 2012 x ? 2011x ? 2012 有一个因式为 x ? ax ? 1 ，另一个因式为 x ? bx ? 2012 ，求a+b 的值22 数学 七年级下册刘 阳6、若 ab 2 ? 1 ? 0 ，用因式分解法求 ?ab(a2b5 ? ab3 ? b) 的值7、已知 a，b，c 满足 ab ? a ? b ? bc ? b ? c ? ca ? c ? a ? 3 ，求 (a ?1)( b ?1)( c ? （a，b，c 都是 1) 的值。
正整数）考点三、用乘法公式分解因式 平方差公式 a 2 ? b 2 ? (a ? b)(a ? b) 运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反 习题 1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A、 x 2 ? 4y2 2、分解下列因式2 （1） 3x ? 12B、 x 2 ? 2y2 ? 1C、 ? x2 ? 4 y 2D、 ? x2 ? 4 y 2（2） ( x ? 2)( x ? 4) ? x2 ? 4（3） ( x ? y)2 ? ( x ? y)2（4） x3 ? xy 2（5） (a ? b)2 ? 1（6） 9(a ? b)2 ? 30(a2 ? b2 ) ? 25(a ? b)2（7）2009 ? 2011 2010 2 ? 12 2 2 2 2 （8） 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? ... ? 2 ? 13、若 n 为正整数，则 (2n ? 1) ? (2n ?1) 一定能被 8 整除2 223 数学 七年级下册刘 阳完全平方式a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾两 项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。
习题 1、在多项式① x 2 ? 2xy ? y2 ② ?x 2 ? 2xy ? y2 ③ x 2 ? xy+y2 ④ 4x ? 1+4x 中，能用完全平方公式分2解因式的有（ A、①②） B、②③ C、①④ ） D、②④2、下列因式分解中，正确的有（ ①4a ? a 3b2 ? a(4 ? a 2b2 )②x 2 y ? 2xy ? xy ? xy(x ? 2)③?a ? ab ? ac ? ?a(a ? b ? c)④2 2 2 9abc ? 6a 2 b ? 3abc(3 ? 2a) ⑤ x 2 y ? xy 2 ? xy(x ? y) 3 3 3A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、5 个 ）3、如果 x2 ? 2(m ? 3) x ? 16 是一个完全平方式，那么 m 应为（ A、-5 4、分解因式2 (1) mx ? 4mx ? 2m 2 (2) 2a -4a ? 2B、3C、7D、7 或-1(3) ? x3? 2x 2 ? x（4） (2x ? 3)2 ? ( x ? 3)2（5） 8x2 y ? 8xy ? 2 y（6） (x -2xy) +2y (x -2xy)+y22224（7）4x －12xy+9y －4x+6y-3225、已知 a ? b ? 2 ， ab ? 2 ，求1 3 1 a b ? a 2b 2 ? ab3 2 26、证明代数式 x ? y ? 10 x ? 8 y ? 45 的值总是正数2 224 数学 七年级下册刘 阳7、已知 a，b，c 分别是 ?ABC 的三边长，试比较 (a 2 ? b2 ? c2 )2 与 4a 2b2 的大小8、把 x 2 ? 1加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，有几种方法，请列举考点四、十字相乘法 1、 二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式— x ? (a ? b) x ? ab ? ( x ? a)(x ? b) 进行分解。
特点： （1）二次项系数是 1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。2例题讲解 1、分解因式： x 2 ? 5x ? 6 分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。
由 于 6=2 × 3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1) × (-6) ， 从 中 可 以 发 现 只 有 2 × 3 的 分 解 适 合 ， 即 2+3=5 1 22 2 解： x ? 5x ? 6 = x ? (2 ? 3) x ? 2 ? 3 1 3 = ( x ? 2)(x ? 3) 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
2 例题讲解 2、分解因式： x ? 7 x ? 6解：原式= x ? [(?1) ? (?6)]x ? (?1)(?6) = ( x ? 1)(x ? 6)21 -1 1 -6 （-1）+（-6）= -72 (3) x ? 4 x ? 5练习 2 分解因式(1) x ? 14x ? 242 (2) a ? 15a ? 362 (4) x ? x ? 2(5) y ? 2 y ? 1522 (6) x ? 10x ? 242 2、二次项系数不为 1 的二次三项式—— ax ? bx ? c a1 条件： （1） a ? a1a2（2） c ? c1c2 （3） b ? a1c2 ? a2 c1c1 a2 c2 b ? a1c2 ? a2 c125 数学 七年级下册刘 阳分解结果： ax2 ? bx ? c = (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) 例题讲解 1、分解因式： 3x 2 ? 11x ? 10 分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解： 3x 2 ? 11x ? 10 = ( x ? 2)(3x ? 5) 分解因式： （1） 5 x 2 ? 7 x ? 6 （2） 3x 2 ? 7 x ? 2（3） 10x 2 ? 17x ? 3（4） ? 6 y 2 ? 11y ? 103、二次项系数为 1 的齐次多项式 b2 例题讲解、分解因式： a 2 ? 8ab ? 128 分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b2 b 2 = a 2 ? [8b ? (?16b)]a ? 8b ? (?16b) = (a ? 8b)(a ? 16b) 解： a ? 8ab ? 128分解因式(1) x 2 ? 3xy ? 2 y 2(2) m 2 ? 6m n ? 8n 2(3) a 2 ? ab ? 6b 24、二次项系数不为 1 的齐次多项式 例题讲解2 x 2 ? 7 xy ? 6 y 2x 2 y 2 ? 3xy ? 2把 xy 看作一个整体 1 1 -1 -2 (-1)+(-2)= -31 -2y 2 -3y (-3y)+(-4y)= -7y 解：原式= ( x ? 2 y)(2 x ? 3 y)解：原式= ( xy ? 1)(xy ? 2)分解因式： （1） 15x ? 7 xy ? 4 y222 2 （2） a x ? 6ax ? 8考点五、因式分解的应用 1、分解下列因式2 （1） 3 x ? 3（2） x y ? 4 x3 226 数学 七年级下册刘 阳（3） x3 ? 6 x 2 ? 27 x（4） a 2 ? b2 ? 2b ? 12、计算下列各题 （1） (4a2 ? 4a ? 1) ? (2a ? 1) （2） (a2 ? b2 ? c2 ? 2ab) ? (a ? b ? c)3、解方程 （1） 16( x ? 1)2 ? 25( x ? 2)2 （2） (2 x ? 3)2 ? (2 x ? 3)4、如果实数 a ? b ，且10a ? b a ? 1 ? ，那么 a+b 的值等于________ 10b ? a b ? 15、1 ? 22 32 ? 42 52 ? 62 20092 ? 20102 20112 ? 20122 ? ? ? ...... ? ? 1? 2 3? 4 5?6 2009 ? 2010 2011 ? 20122 6、若多项式 x ? ax ? 12 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数 a 的值（写出 3个）7、先变形再求值 （1）已知 2 x ? y ?1 4 3 3 4 ， xy ? 4 ，求 2x y ? x y 的值 1627 数学 七年级下册刘 阳（2）已知 3x 2 ? 8 x ? 2 ? 0 ，求 ?12 x 2 ? 32 x 的值8、已知 a、b、c 为三角形三边，且满足 a +b +c -ab-bc-ac=0 ，试说明该三角形是等边三角形2229、两个正整数的平方差等于 195，求出这两个正整数10、阅读下列因式分解的过程，回答问题1 ? x ? x( x ? 1) ? x( x ? 1)2 ? (1 ? x)[1 ? x ? x( x ? 1)] ? (1 ? x)2 (1 ? x) ? (1 ? x)3（1） 上述分解因式的方式是_________，共用了______次。2 0 1 2 （2） 若 分 解 1 ? x ? x( x ? 1 ) ? x ( x ? ，1则 1) ? . . ?x . x 2(? ) 需 上 述 方 法 ______ 次 ， 结 果 为_______________________ （3） 分解因式 1 ? x ? x( x ? 1) ? x( x ? 1)2 ? ... ? x( x ? 1)n （n 为正整数）七年级下数学《分式》知识点回顾复习按住 ctrl 键 点击查看更多初中七年级资源 【知识总览】 本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加 减运算） ，分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数， 分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在 中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习． 【知识点解读】 1：分式的意义 例 1． （1）当 x 时，分式1 有意义． x ?1分析：要使分式有意义，只要分母不为 0 即可28 数学 七年级下册刘 阳当 x≠-1 时，分式1 有意义． x ?1） D． ?1（2）已知分式 A．-1x ?1 的值是零，那么 x 的值是（ x ?1B ．0 C．1分析：讨论分式的值为零需要同时考虑两点： （1）分子为零； （2）分母不为零，当 x=1 时，分子等于 零，分母不为 0，所以，当 x=1 时，原分式的值等于零，故应选 C．A 在什么情况下有意义、无意义和值为 0 的问题。当 B A A A B≠0 时，分式 有意义；当 B=0 时，分式 无意义；当 A=0 且 B≠0 时，分式 的值为 0 B B B评注：在分式的定义中，各地中考主要考查分式 2：分式的变形 例 2．下列各式与x? y 相等的是（ x? y）2x ? y ( x ? y) ? 5 x2 ? y 2 ( x ? y)2 （A） （B） （C） 2 ( x ? y ) （D） 2 2x ? y ( x ? y) ? 5 x ? y2 x ? y2解析：正确理解分式的基本性质是分式变形的前提，本例选项（C）为原分式的分子、分母都乘以同 一个不等于 0 的整式（x-y）所得，故分式的值不变． 3：分式的化简 分式的约分与通分是进行分式化简的基础，特别是在化简过程中的运算顺序、符号、运算律的应用等 也必须注意的一个重要方面 x－1 1 例 2．化简： ÷(x－ ). x x 分析：本题要先解决括号里面的，然后再进行计算 解：原式 ?1 x ?1 x2 ?1 x ?1 x ? ? ? ? x x x ( x ? 1)( x ? 1) x ? 1评注:分式的乘除法运算，就是将除法转化为乘法再进行约分即可． 4：分式的求值例 4．先化简代数式： ?2x ? 1 ? x ?1 ，然后选取一个使原式有意义的 x 的值代入求值． ? 2 ?? 2 ? x ? 1 x ?1 ? x ?1分析：本题先要将复杂的分式进行化简，然后再取一个你喜欢的值代入（但你取的值必须使分式有意 义） ．29 数学 七年级下册刘 阳解：化简得： x ? 1，取 x=0 时，原式=1；2评注：本题化简的结果是一个整式，如果不注意的话，学生很容易选 1 或-1 代入，这是不行的，因为 它们不能使分式有意义． 5：解分式方程 例 5．解分式方程：2x 3 ? ?2 x?2 x?2分析：解分式方程的关键是去分母转化为整式方程2 2 解： 2 x( x ? 2) ? 3( x ? 2) ? 2( x 2 ? 4) ， 2 x ? 4 x ? 3x ? 6 ? 2 x ? 8 ， ? 7 x ? ?2x?2 2 2 ，经检验： x ? 是原方程的解，∴原方程的解为 x ? 7 7 7点评：解分式方程能考查学生的运算能力、合情推理等综合能力，解分式方程要注意检验，否则容易 产生增根而致误！ 6：分式方程的应用 例 6．A 城市每立方米水的水费是 B 城市的 1.25 倍，同样交水费 20 元，在 B 城市比在 A 城市可多用 2 立方米水，那么 A、B 两城市每立方米水的水费各是多少元？ 分析：本题只要抓住两城市的水相差 2 立方米的等量关系列方程即可 解：设 B 城市每立方米水的水费为 x 元，则 A 城市为 1.25x 元20 20 ?2? , 解得 x = 2 经检验 x = 2 是原方程的解。
1.25x = 2.5（元） x 1.25 x答：B城市每立方米水费2元，A城市每立方米2.5元。
点评：收缴水、电费的问题是贴近生活的热点问题，是老百姓最关心的问题之一，体现了数学的实用 性的理念 7：综合决策 例 7．在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在 30 天内（含 30 天）完成．现有甲、乙两个工程 队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做 24 天恰好完成；若两队合做 18 天后，甲工程队再单独做 10 天，也恰好完成．请问： （1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？ （2）已知甲工程队每天的施工费用为 0．6 万元，乙工程队每天的施工费用为 0．35 万元，要使该工 程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用 解： （1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需 x 天、y 天，30 数学 七年级下册刘 阳? 24 24 ? x ? y ? 1, ? 由题意得方程组： ? ， 18 18 10 ? ? ? ?1 ? ?x y x解之得：x=40，y=60．（2）已知甲工程队每天的施工费用为 0．6 万元，乙工程队每天的施工费用为 0．35 万元，根据题意，要 使工程在规定时间内完成且施工费用最低， 只要使乙工程队施工 30 天， 其余工程由甲工程队完成． 由 （1） 知，乙工程队 30 天完成工程的30 1 ? ， 60 2∴甲工程队需施工1 1 ÷ =20（天） ．最低施工费用为 0．6×20＋0．35×30=2．25（万元） ． 2 40答： （1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需 40 天和 60 天； （2）要使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做 20 天和 30 天，最低施工费用是 2．25 元． 万评析：这道考题把对二元一次方程组知识的考察放到贴近生活的热点话题的背景下，易激活学生的数 学思维． 【历年考点例析】 考点一、分式的基本概念 例 1、从“6＋3 整式，一个是分式． 、2、4＋a、3b、c”中选取四个（不重复），每两个分别组成代数式，其中一个是解析：整式包括单项式和多项式；分式指的是具有的形式，其中 A，B 都是整式，并且 B 中都含有字母的代数式．观察给出的五个代数式都是整式，因此任意选取四个即可，只不过在写分式时，做分母的整式须含有字母即可．如：整式 2 ＋3b ， 分式例 2、某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费 元，之后的每一分钟收费 元．如 果某人打该长途电话被收费 8 元钱，则此人打长途电话的时间是（ ）A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟解析：这里考查学生根据题意列出分式表示数量关系应选 C 温馨提示：深刻理解分式的概念，掌握分式有意义的条件，深入的理解题目的含义，即而按要求写出 分式． 考点二、当分式有(无)意义和值为 0 时,字母的取值范围31 数学 七年级下册刘 阳本考点主要涉及两种基本题，一是确定分式有、无意义时字母的取值范围，二是分式的值为 0 时，字 母的取值．例 3、（1）使分式有意义的 的取值范围是（）A．B．C．D．（2）当时，分式无意义．解析：对于一个分式，当分母为 0 时，分式无意义，当分母不等于 0 时，分式有意义，且无需考虑分式的分子． 所以，（1）当 x＋2 0，即 x －2 时，分式有意义． 故选择 B；（2）当 2x－1＝0，即 x＝无意义．时，分式例 4、若分式的值为零，则 的值等于．解析：若分式的值为 0，须同时具备两个条件：①分式的分子为 0；②分式的分母不等于 0，这两个条 件缺少不可．所以 且 x－1 0，解得 故填考点三、分式的基本性质 例 5、下列各式从左到右的变形正确的是（ ）．A．B．C．D．解析：解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的 倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为 0，故 B 错误．同时在 分式的变形中，还要注意符号法则，即分式的分子、分母及分式的符号，只有同时改变两个其值才不变， 故 C、D 也错误．本题应选 A． 考点四、分式的化简与计算32 数学 七年级下册刘 阳例 6、化简的结果是（）A． B．B．C．D．解析：进行分式的化简，关键是灵活运用分式的基本性质，灵活地进行通分、约分等．本题是分式的 除法运算，需要将除法转化为乘法，同时对分式的分母分解因式，化简后结果为 在中考试卷中，除了沿袭传统的分式化简计算题型外，还出现了创新型试题 ，故应选择 A例 7、（2007 山东烟台课改）有一道题：“先化简，再求值： ”．小亮同学做题时把“ 请你解释这是怎么回事． 解析： 把“”错抄成了“，其中 ”，但他的计算结果也是正确的，”错抄成了“”，结果还正确，还真有点怪，但在有关代数式求值中有时化简结果与字母的取值无关时，也就不怪了，本题可能就属于这类问题，下面我们来化简看看：,因为 为 2007，原式的计算结果都是 2016，所以把“ ”错抄成“或 ”，计算结果也是正确的．，的值均例 8、先化简代数式，请你取一个 的值，求出此时代数式的值．解析：代数式求值常用的方法是先化简再求值．本题是一道结论开放型求值题，其结果可由 x 的取值 不同而不同，但要注意隐含条件，就是说本题可取 0 和 2 之外的任意数，若 x 为 0 或 2，则原分式的分母 为 0，会导致原分式无意义．原式， 当 x＝1 时，原式＝3，（答案不唯一）33 数学 七年级下册刘 阳考点五、分式方程的概念及其解例 9、 请选择一组的值，写出一个形如的关于 的分式方程，使它的解为，这样的分式方程可以是________． 解析：本题为一开放性的问题，答案不唯一，但是题目中已经给出了分是方程的解和分母，此时可以 任意的给定 a 或 b 一个值，就可以确定出另一个字母的值了，如：令 a＝2，则可以得到 b＝－1，所以分式方程可以写作：例 10、解方程： 解析：解分式方程的基本思路是：先确定最简公分母，再通过去分母把分式方程转化成整式方程，从 而求得其解． 要注意的是解分式方程必须检验，若为增根，须舍去． 解：去分母，得 ．解得，．经检验，是原方程的根．原方程的根是．考点六、分式方程的应用 例 11、某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用 1200 元购书若干本，并按该书定价 7 元 出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了 20%，他用 1500 元 所购该书数量比第一次多 10 本．当按定价售出 200 本时，出现滞销，便以定价的 4 折售完剩余的书．试 问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多 少？ 解析： 列分式方程与列整式方程解应用题一样， 应仔细审题， 找出反映应用题中所有数量关系的等式， 恰当地设出未知数，列出方程． 与整式方程不同的是求得方程的解后，应进行两次检验，一是检验是否 是增根，二是检验是否符合题意．本题的等量关系为： 第二次购该书数量比第一次多 10 本，即（第一次 购买的数量）＋10＝（第二次购买的数量）． 解：设第一次购书的进价为 元，则第二次购书的进价为 元．根据题意得：，解得：，经检验是原方程的解．34 数学 七年级下册刘 阳所以第一次购书为（本），第二次购书为（本），第一次赚钱为（元），第二次赚钱为：（元）所以两次共赚钱 【易错点剖析】 1．符号错误 例 1．不改变分式的值，使分式（元）．?a?b 的分子、分母第一项的符号为正． ?a?b错解：?a?b a?b ? ?a?b a?b诊断：此题错误的原因是把分子、分母首项的符号当成了分子、分母的符号．正解：? a ? b ? ( a ? b) a ? b ． ? ? ? a ? b ? ( a ? b) a ? b2．运算顺序错误 例 2．计算：2a ? 4 a?2 ? ? (a ? 3) a ? 4a ? 3 a ? 32错解：原式=2(a ? 2) 2 ? (a ? 2) ? 2 ． a ? 4a ? 3 a ? 4a ? 32诊断：分式的乘除混合运算是同一级运算，运算顺序应从左至右． 正解：原式=2a ? 4 a?3 2(a ? 3) ? ? (a ? 3) ? ． a ?1 a ? 4a ? 3 a ? 223．错用分式基本性质3 2a ? b 2 的分子、分母各项系数都化为整数． 例 3．不改变分式的值，把分式 2 a?b 3 3 ( 2 a ? b) ? 2 4a ? 3b 2 错解：原式= ． ? 2 2a ? 3b ( a ? b) ? 3 3诊断：应用分式的基本性质时，分式的分子、分母必须同乘以同一个不为 0 的整式，分式的值不变， 而此题分子乘以 2，分母乘以 3，分式的值改变了．35 数学 七年级下册刘 阳3 ( 2a ? b) ? 6 12a ? 9b 2 正解：原式= ． ? 2 4a ? 6b ( a ? b) ? 6 34．约分中的错误例 4．约分：a 2 ? ab ． a 2 ? 2ab ? b 2错解：原式=1?1 2 ? ． 2 1? 2 ? b 3 ? b2诊断：约分的根据是分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去，若分子、分母是多项式，须先分解 因式，再约去公因式．正解：原式=a ( a ? b) a ． ? 2 a?b ( a ? b)5．结果不是最简分式 例 5．计算：x ? 3y x ? 2 y 2x ? 3y ． ? 2 ? 2 2 x ?y x ? y2 x2 ? y2 ( x ? 3 y ) ? ( x ? 2 y ) ? (2 x ? 3 y ) 2 x ? 2 y ． ? 2 x2 ? y2 x ? y2错解：原式=诊断：分式运算的结果必须化为最简分式，而上面所得结果中分子、分母还有公因式，必须进一步约 分化简．正解：原式=( x ? 3 y ) ? ( x ? 2 y ) ? (2 x ? 3 y ) 2 x ? 2 y 2( x ? y) 2 ． ? 2 ? ? 2 2 2 ( x ? y)(x ? y) x ? y x ?y x ?y6．误用分配律 例 6．计算：m?2 m?2 ? (m ? 2 ? )． 2m ? 4 m?2错解：原式=m?2 m?2 m?2 1 1 3? m ? (m ? 2) ? ? ? ? ? ． 2(m ? 2) 2(m ? 2) m ? 2 2(m ? 2) 2 2(m ? 2)诊断：乘法对加法有分配律，而除法对加法没有分配律．正解：原式=m?2 m2 ? m ? 6 m?2 m?2 1 ． ? ? ? ? 2(m ? 2) m?2 2(m ? 2) (m ? 2)(m ? 3) 2(m ? 3)7．忽略分数线的括号作用36 数学 七年级下册刘 阳x3 ? x2 ? x ?1 ． 例 7．计算： x ?1 x3 x2 ? x ?1 x3 ( x ? 1)(x 2 ? x ? 1) 2 x 2 ? 1 ? ? ? ? ． x ?1 1 x ?1 x ?1 x ?1错解：原式=诊断：此题错误在于添加分数线时，忽略了分数线的括号作用．正解：原式=x3 x2 ? x ?1 x3 ( x ? 1)(x 2 ? x ? 1) x3 x3 ?1 1 ? ? ? ? ? ? x ?1 1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1第十一章 频数分布一、知识总结（一）频数与频率1、概念：一般地，如果一组数据共有 n 个，而其中一类数据出现 m 次，那么 m 就叫做 该类数据在该组数据中出现的频数；而则称为该类数据在该组数据中出现的频率。
2、频数分布：频数分布表，频数分布图（频数分布直方图，频数分布折线图） （1）整理数据的步骤： 1）计算这批数据的极差（极差=最大值-最小值） 2）决定组距和组数（当数据个数在 100 以内，一般分为 5~12 组，数据多分组多， 数据少分组少，若有的组内的频数为 0 时，则应放宽组距）组距=极差 组数组数=极差 组距3）决定分点（为了避免出现某一数据所在组不能确定的情况，应使分点比已知数据 多一位小数，且把第一组的起点稍微放小） 4）画频数分布表。3、注意： （1）频率 ? 概率 （2） 三种统计图的特点： 条形统计图 ：能清楚地表示出事物的绝对数量； 折线统计图 ：能清楚地反映事物的变化趋势； 扇形统计图 ：能清楚地表示各部分占总体的百分率。二、典题练习1、对某班的一次数学测验成绩进行统计分 析，各分数段的人数如图所示（分数取正整数满分为 100 分） ．请根据图形回答下列问题：20 15 10 学生人数 37 数学 七年级下册刘 阳①该班有名学生； ，频率是 。②70～79 分这一组的频数是2、频数分布直方图（如图 22-2-9 所示）显示了学生半分钟心跳数情况，总共统计了_________ 名学生的心跳数情况；__________次人数段的学生数最多，约占__________；如果半 分钟心跳数 30—39 属于正常范围，心跳次数属于正常范围的学生约占__________。3、校课外活动小组为了了解本校九年级学生的睡眠时间情况，对学校若干名九年级学生 的睡眠时间进行了抽查，将所得数据整理后画出了频数分布直方图的一部分，如图所 示，已知图中从左到右前 5 个小组的频率分别是 0.04，0.08，0.24，0.28，0.24，第二 小组的频数为 4，请回答：（1）这次被抽查的学生人数是多少？补全频率分布直方图； （2）被抽查的学生中，睡眠时间在哪个范围内的人数最多？这一范围的人数是多少？ （3）如果该学校有 900 名九年级学生，若合理的睡眠时间值为 7 ? t ? 9 ，那么请你估计 一下这个学校九年级学生中睡眠时间在此范围的人数是多少？ 4、校八年级（2）班 40 个学生某次数学测验成绩如下： 63，84，91，53，69，81，61，69，91，78，75，81，80，67，76，81，79，94，61，69，89，70，70， 87，81，86，90，88，85，67，71，82，87，75，87，95，53，65，74，77。
数学老师按 10 分的组距分段，算出每个分数段学生成绩出现的频数，填写 频数分布表： （1）请把频数分布表、频数分布直方图(如图 22-2-19)补充完整并画出频数分布折线图； （2）请你帮老师统计一下这次数学测验的及格率（60 分以上为及格，含 60 分） 及优秀率（90 分以上为优秀，含 90 分） ； （3）请说明哪个分数段的学生最多？哪个分数段的学生最少？38 数学 七年级下册刘 阳成 绩段[来源 :学§科§网 ]49.5— 59.559.5— 69.569.5— 79.579.5— 89.589.5— 99.5频数 记录 频数 频率29 0.250539
北师大初一下册数学知识框架3
北师大版七年级数学下册复一、整式习第一章资整式的运算料1、单项式：表示数与字母的积的代数式。另外规定单独的一个数或字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做单项式的系数。注意系数包括前面的符号，系数是 1 时通常省 略， ? 是系数， ?2 xyz 2 的系数是 ? 7 7单项式的次数是指所有字母的指数的和。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
（几次几项式）每一个单项式叫做多项式的项，注意项包括前面的符号。
多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数。项的次数是几就叫做几次项，其中不含 字母的项叫做常数项。
3、整式；单项式与多项式统称为整式。
（最明显的特征：分母中不含字母） 4、排列多项式：①按某一个字母降幂排列：某一个字母的指数由大到小排列； ②按某一个字母升幂排列：某一个字母的指数由小到大排列。
二、整式的加减：①先去括号； ②再合并同类项。
三、幂的运算性质 1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。
2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。an ? am ? an? m（注意括号前有数字因数） （系数相加，字母与字母指数不变）(a n ) m ? a nmn n n 3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。
(ab) ? a b0 4、零指数幂：任何一个不等于 0 的数的 0 次幂等于 1。
a ? 1（ a ? 0 ） 注意 00 没有意义。
5、负整数指数幂：a?p ? 1 ap（ p 正整数， a ? 0 ）n m n?m 6、同底数幂相除：底数不变，指数相减。
a ? a ? a注意：以上公式的正反两方面的应用。第 1 页 共 6 页 常见的错误： a 2 ? a 3 ? a 6 ， (a 2 ) 3 ? a 5 ， (ab) 3 ? ab3 ， a 6 ? a 2 ? a 3 ， a 2 ? a 2 ? 2a 4 四、单项式乘以单项式：系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则连同它 的指数作为积的一个因式。
五、单项式乘以多项式：运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。
六、多项式乘以多项式：连同各项的符号把其中一个多项式的各项乘以另一个多项式的每一 项。?a ? b??m ? n? ? am ? an ? bm ? bn七、平方差公式 两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。
即：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。?a ? b??a ? b? ? a 2 ? b 2八、完全平方公式 两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的 2 倍。?a ? b?2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab常见错误： ?a ? b ? ? a 2 ? b 22?a ? b?2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ?a ? b ?2 ? a 2 ? b2九、单项除以单项式：把单项式的系数相除，相同的字母相除，只在被除式中出现的字母则 连同它的指数作为商的一个因式。
十、多项式除以单项式：连同各项的符号，把多项式的各项都除以单项式。第二章一、互余、互补、对顶角平行线与相交线性质：同角（或等角）的余角相等。
性质：同角（或等角）的补角相等。1、相加等于 90°的两个角称这两个角互余。
2、相加等于 180°的两个角称这两个角互补。3、两条直线相交，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角；或者一个角的反相延长 线与这个角是对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
（相邻且互补）4、两条直线相交，有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。
二、三线八角： 两直线被第三条直线所截①在两直线的相同位置上，在第三条直线的同侧（旁）的两个角叫做同位角。
②在两直线之间（内部） ，在第三条直线的两侧（旁）的两个角叫做内错角。
③在两直线之间（内部） ，在第三条直线的同侧（旁）的两个角叫做同旁内角。第 2 页 共 6 页 三、平行线的判定 ①同位角相等 ②内错角相等 ③同旁内角互补 四、平行线的性质 ①两直线平行，同位角相等。
②两直线平行，内错角相等。
③两直线平行，同旁内角互 补。
五、尺规作图（用圆规和直尺作图） ①作一条线段等于已知线段。
②作一个角等于已知角。? 两直线平行第三章一、百万分之一有多小、近似数与精确数生活中的数据精确数：真实的数值近似数：通过测量、估算、统计得到的数； 二、科学记数法： 1、绝对值大于 10 的数： a ? 10 2、绝对值小于 1 的数： a ? 10n（1≤ a 〈10 ， n 是原数的整数位数减 1〉 （1≤ a 〈10， n 是有效数字前 0 的个数）?n三、有效数字：从左边第一个不是 0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个 数的有效数字。
注意：①用科学记数法表示的数有效数字看 a 的有效数字。如 2.35 ? 10 4 的有效数字是 2、3、 5 ②几万或几亿的有效数字看万或亿前面的数。如 2.56 万的有效数字是 2、5、6 四、精确度的两种表示方法： ①保留几个有效数字： ②精确到哪一位：注意：怎样确定一个近似数的精确度？看这个近似数的最右边的数字在数位表中的位置，如 果是用科学记数法表示或是几万几亿的数先求出原数五、用四舍五入法取近似数时，如果去掉了原数的整数位数则要转化成科学记数法表示。
六、象形统计图：直观、形象第四章一、 概率：反映事件发生可能性大小的数。概 率第 3 页 共 6 页 事件 P 的概率=事件P出现的结果数 所有出现的结果的总数二、事件的分类三、游戏是否公平：双方事件发生的概率是否相等。第五章一、认识三角形三角形1、三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
2、三角形三边的关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
（已知三条线段确定能否组成三角形，已知两边求第三边的取值范围） 3、三角形的内角和是 180°；直角三角形的两锐角互余。
锐角三角形 4、 三角形按角分类 直角三角形 钝角三角形 5、三角形的特殊线段： a) 三角形的中线：连结顶点与对边中点的线段。
（分成的两个三角形面积相等） （三个角都是锐角） （有一个角是直角） （有一个角是钝角）b) 三角形的角平分线：内角平分线与对边的交点到内角所在的顶点的线段。
c) 三角形的高：顶点到对边的垂线段。
二、全等三角形： 1、全等三角形：能够重合的两个三角形。
2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。
3、全等三角形的判定： 判定方法 边边边 边角边 角边角 角角边 内 容 简称 SSS SAS ASA AAS HL （每一种三角形的作图）三边对应相等的两个三角形全等 两边与这两边的夹角对应相等的两个三角形全等 两角与这两角的夹边对应相等的两个三角形全等 两角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等斜边直角边 斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 注意：三个角对应相等的两个三角形不能判定两个三角形形全等；AAA第 4 页 共 6 页 两条边与其中一条边的对角对应相等的两个三角形不能判定两个三角三角形全等。SSA 4、全等三角形的证明思路：条件下一步的思路 找它们的夹角 找第三边运用的判定方法 SAS SSS ASA AAS ASA 或 AAS SAS已经两边对应相等已经两角对应相等找它们的夹边 找其中一个角的对边 找另一个角 已经一角一边 找另一边 5、三角形具有稳定性， 三、作三角形 1、已经三边作三角形 2、已经两边与它们的夹角作三角形3、已经两角与它们的夹边作三角形（已经两角与其中一角的对边转化成这种情况） 4、已经斜边与一条直角边作直角三角形第六章一、变量、自变量与因变量生活中的变量①两个变量 x 与 y，y 随 x 的改变而改变，那么 x 是自变量（先变的量） ，y 是因变量（后变 的量） 。
二、变量之间的表示方法： ①列表法 ②关系式法：能精确地反映自变量与因变量之间数值的对应关系。
③图象法：用水平方向的数轴（横轴）上的点表示自变量，用坚直方向的数轴（纵轴）表示 因变量。第七章一、轴对称图形与轴对称生活中的轴对称①一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能完成重合的图形叫做轴对称图形。这条直 线叫做对称轴。
②两个图形沿某一条直线折叠，这两个图形能完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴第 5 页 共 6 页 对称。这条直线叫做对称轴。
③常见的轴对称图形：线段（两条对称轴） ，角，长方形，正方形，等腰三角形，等边三角 形，等腰梯形，圆，扇形 二、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
∵ ∠1=∠2 ∴ PB=PA 三、线段垂直平分线： ①概念：垂直且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
②性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
∵ OA=OB ∴ PA=PB 四、等腰三角形性质： （有两条边相等的三角形叫做等腰三角形） （一条对称轴） （三线合一） CD⊥AB PB⊥OB PA⊥OA①等腰三角形是轴对称图形；②等腰三角形底边上中线，底边上的高，顶角的平分线重合； ③等腰三角形的两个底角相等。
（简称：等边对等角）五、在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它所对的两条边也相等。
（简称：等角对等 边） 六、等边三角形的性质：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质。
① 等边三角形的三条边相等，三个角都等于 60； 七、轴对称的性质： ① 关于某条直线对称的两个图形是全等形； ② 对应点的连线被对称轴垂直且平分； 上。
八、镜子改变了什么： 1、物与像关于镜面成轴对称； （分清左右对称与上下对称） 2、常见的问题：①物体成像问题；②数字与字母成像问题；③时钟成像问题 ②对应线段、对应角相等； ④对应线段如果相交，那么交点在对称轴 ②等边三角形有三条对称轴。第 6 页 共 6 页
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