下面是范文网小编整理的几何概型教案模板共4篇(设计概论教案模板)，欢迎参阅。
几何概型教案模板共1
§几何概型 （第一课时） （人教A版〃必修3）
教学目标
1、知识与技能：
（1）正确理解几何概型的概念； （2）掌握几何概型的概率公式： P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）积）
的区域长度（面积或体；
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；
2、过程与方法：
（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力
（2）通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法
3、情感态度与价值观：
本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
教学重点
几何概型的概念、公式
教学难点
几何概型的应用
教辅手段
投灯片，计算机及多媒体教学．
教学过程
一、情景设置——温故知新 处理方式
借助课件，提出问题，引导学生回顾
1、现实生活中有的古典概型的问题
2、古典概型的特点
二、新知探究
（一）创设情境：
处理方式
1、引导学生独立思考，解决问题：如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
（1） 回顾已学的计算随机事件的概率的方法，引导学生选择解决此问题的方法。 （2） 引导学生思考讨论得出结果。
2、几何概型的概念：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）利用类比的方法引导学生总结几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．
（3）引导学生由几何概型的概念、特点及转盘问题总结出几何概型的概率公式： P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）积）的区域长度（面积或体
三、即时体验
处理方式
1、以问题探究的形式引导学生区分古典概型和几何概型。
问题1：判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）将一颗豆子随即的扔到如图的方格中,假设豆子不落在线上,求落在红色区域的概率.
解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；
（2）豆子落入红色区域时有无限多个结果，而且不难发现“落入红色区域”的概率可以用红色部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．
2、以问题探究的形式引导学生理解几何概型中的事件A的概率P（A）只与子区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的位置和形状无关。
问题2：取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1m的概率为多大？
问题3：一海豚在水中游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率。
问题4：有有一杯2升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯中取出升水,求小杯中含有这个细菌的概率.问题2解： 设A={剪得两段的长都不少于1m}，A的发生就是中间一米的那段一段：
P（A）=13
问题3解：设A={海豚嘴尖离岸边不超过2m}，为图中兰色区域：
P（A）=30?20?26?1630?=
2375? 问题2解： 设A={小杯中含有这个细菌}，它的概率只与取出的水的体积有关
P（A）=
=
四、归纳提升
处理方式
引导学生归纳本课时的主要学习内容，交流成果教师帮助完善。
1、几何概型的概念，特点
2、几何概型的公式及应用
五、课后延续
1、回顾本课的学习过程，整理学习笔记
2、完成书面作业P14习题1
3、选作问题：
（1）在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边做正方形，求这正方形的面积介于36cm与81cm之间的概率。
（2）已知地铁列车每10分一班，在车站停1分，求乘客到达站台立即乘上车的概率。
22
几何概型教案模板共2
课题：几何概型
授课教师：卓剑
教材：苏教版数学（必修3）第3章节
[教学目标] 知识与技能
(1) 了解几何概型的基本概念、特点和含义，测度的含义；
(2) 能运用概率计算公式解决一些简单的几何概型的概率计算问题． 过程与方法
(1) 经历由直观感知探讨未知领域的过程，培养数学类比能力和概括能力． (2) 通过情感体验，使已有的知识和技能得到内化，同时转化为解决新问题的能力． 情感态度与价值观
(1) 通过对几何概型的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度． (2) 在探求过程中，通过交流、发现、思维体验、情感体验等激发学生的学习兴趣． [教学重点、难点] 教学重点是：理解几何概型的概念，并能进行简单的几何概型的概率的计算． 教学难点是：通过实例让学生体会测度的合理选取． [教学方法与教学手段] 问题教学法、合作学习法，多媒体课件．
[教学过程] 1．创设情境
周杰伦的《青花瓷》歌曲全长4分钟，高潮部分从第50秒末开始，到第1分30秒末结束．小明最爱听这首歌．
暑假中的一天，他正戴着耳机以单曲循环的播放模式听《青花瓷》．这时，妈妈喊他有事．回来后，他又立刻戴上耳机．
请问：小明刚好听到《青花瓷》高潮部分的概率是多少？
2．提出问题，组织讨论
问题探究1 取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，剪得两段的长都不小于1m的概率是多少？
问题1 有多少种剪法？
问题2 怎样剪断绳子，能使得剪得两段的长都不小于1m？ 问题3 剪得两段的长都不小于1m的概率是多少？
记“剪得两段绳子的长都不小于1m”为事件A，由于剪断绳子上的每一个位置都可视为一个基本事件；将绳子三等分，当剪断位置在中间一段时，事件A发生，所以事件A发生的概率为
P(A)?中间一段绳子的长度1?。
绳子的总长度3问题探究2 取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，那么豆子落入圆内的概率为多少？
记“豆子落入圆内”为事件A，由于豆子落入正方形中的每一个位置都可视为一个基本事件；豆子落入圆内时，事件A发生。则豆子落入圆内的概率为 圆的面积?a2?P(A)???。
正方形的面积4a24
3．建构概念
(1)归纳上述两个随机试验有什么共同特征.(2)归纳、概括几何概型的概念.设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等）．每个基本事件可以视为从区域D内随机取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．
在几何概型中，事件A的概率计算公式为
P(A)?d 的测度
D 的测度(3)几何概型与古典概型有何异同点？(学生归纳)
4．数学运用
在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子。如果从中随机取出10mL，那么含有带麦锈病种子的概率是多少？ 分析 “在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子”可以理解为带麦锈病的种子在这1L种子中的分布是随机的。“随机取出10mL”可以理解为该10mL的种子所在的区域形状和位置不影响事件发生的概率。
解 记“取出10mL麦种，含麦锈病的种子在内”为事件A，因为带麦锈病的种子在这1L种子中的分布是随机的．所以 事件A的概率为P(A)?取出种子的体积101??．
所有种子的体积． 100我之所以选取它作为本节课的惟一例题，在于本题具有丰富的生活背景和体验，同时最能反映几何概型的特征，有助于加深学生对于概念的理解。 5．情境再现
学生运用几何概型的概念解决课开始时的疑惑，做到首尾呼应。
歌曲全长为4分钟，用线段MN表示；高潮部分为40秒，用线段CD表示。由于小明戴上耳机时可以听到整首歌曲中的任意一个时刻，于是小明听到高潮部分的答 含有麦锈病种子的概率为概率为P?高潮的时长401??。
总时长2406单曲循环的播放模式可以这样理解，不论小明再次戴上耳机时，歌曲已经循环播放了多少遍，他听到的时刻一定在该歌曲中，那么可以视一首完整的歌曲为研究的区域D。这与课本上的“地铁问题”是一致的。 6．反馈练习 在平面直角坐标系xOy中，若D表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E表示到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D内随机地投一点，则落在E中的概率为
．（2008年江苏省高考第6题） 7．课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获呢？
8．课后作业 课本103页 练习1,2,3．
几何概型教案模板共3
2017年03月24日的高中数学组卷
一．选择题（共30小题）
1．从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（
） A． B． C． D．
2．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（
）
A． B． C． D．
3．住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图．为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一个被选为组长的概率为（
） A． B． C．
D．
4．已知a∈{0，1，2}，b∈{﹣1，1，3，5}，则函数f（x）=ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数的概率是（
） A． B． C． D．
5．从甲、乙、丙、丁四名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（
）
A． B． C． D．
6．将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是（
） A． B． C． D．
7．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从这6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为（
） A． B． C． D．
8．在“二十四节气入选非遗”宣传活动中，从甲、乙、丙三位同学中任选两人介
第1页（共21页）
绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律，那么甲同学被选中的概率为（
） A．1 B． C． D．
9．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（
） A． B． C． D．
10．从4，5，6，7，8这5个数中任取两个数，则所取两个数之积能被3整除概率是（
） A． B． C． D．
11．从1，2，3，4，5这五个数中，任取两个不同的数，则这两个数之和为3或6的概率为（
） A． B． C．
D．
12．若a，b∈{﹣1，1，2，3}，则直线ax+by=0与圆x2+（y+2）2=2有交点的概率为（
） A． B． C． D．
13．袋中有大小，形状相同的红球，黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸出一个球．若摸到红球得2分，摸到黑球得1分，则3次摸球所得总分为5分的概率是（
）
A． B． C． D．
14．甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个1元，一个5元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为（
） A． B． C． D．
15．从正五边形的5个顶点中随机选择3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是（
） A． B． C． D．
16．男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为中女生人数是（
）
第2页（共21页）
，则其
A．2人 B．3人 C．2人或3人 D．4人
17．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（
）
A． B． C． D．
18．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（
）
A． B． C． D．
19．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期
六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（
） A． B． C． D．
20．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（
） A． B． C．
D．
21．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，则关于x的方程x2+2ax+b2=0有两个不相等的实根的概率是（
） A． B． C． D．
22．从集合{2，3，4，，}中取两个不同的数a，b，则logab＞0的概率为（
） A． B． C． D．
23．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（
） A． B． C． D．
24．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为（
） A． B． C．
D．
第3页（共21页）
25．在区间[﹣1，3]内任取一个实数x满足log2（x﹣1）＞0的概率是（
） A． B． C． D．
26．ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为2的正方体，AC
1、BD1相交于O，在正方体内（含正方体表面）随机取一点M，OM≤1的概率p=（
） A． B． C．
D．
27．向面积为S的平行四边形ABCD中任投一点M，则△MCD的面积小于的概率为（
）
A． B． C． D．
28．若在区间[0，e]内随机取一个数x，则代表数x的点到区间两端点距离均大于的概率为（
） A． B． C． D．
29．在区间[﹣2，3]上随机取一个数x，则x∈[﹣1，1]的概率是（
） A． B． C． D．
30．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段AB两端点的距离都大于1m的概率等于（
） A． B． C． D．
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2017年03月24日的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共30小题）
1．（2017?淮南一模）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（
） A． B． C． D．
【分析】由题意知本题是一个古典概型，本实验的总事件是从五个数中随机抽取2个不同的数有C52种不同的结果，满足条件的事件是这2个数的和为偶数包括
2、4，
1、3，
1、5，
3、5，四种取法，代入公式得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
∵从五个数中随机抽取2个不同的数有C52种不同的结果，
而这2个数的和为偶数包括
2、4，
1、3，
1、5，
3、5，四种取法， 由古典概型公式得到P=故选B．
【点评】数字问题是概率中的一大类问题，条件变换多样，把概率问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．
2．（2017?山西一模）现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（
） A． B． C． D．
【分析】列举基本事件，利用古典概型概率公式求解即可．
【解答】解：设两道题分别为A，B题，所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个女教师抽取的题目，
第5页（共21页）
==，
第3个表示男教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4种； 故所求事件的概率为． 故选：C．
【点评】列举法是确定基本事件的常用方法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
3．（2017?武侯区校级模拟）住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图．为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一个被选为组长的概率为（
） A． B． C．
D．
【分析】熊大，熊二至少一个被选为组长的对立事件是熊大，熊二都有没有被选为组长，由此利用对立事件概率计算公式能求出熊大，熊二至少一个被选为组长的概率．
【解答】解：从住在狗熊岭的7只动物中选出2只动物作为组长， 基本事件总数n==21，
熊大，熊二至少一个被选为组长的对立事件是熊大，熊二都有没有被选为组长， ∴熊大，熊二至少一个被选为组长的情况为∴熊大，熊二至少一个被选为组长的概率p=故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．
4．（2017?自贡模拟）已知a∈{0，1，2}，b∈{﹣1，1，3，5}，则函数f（x）=ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数的概率是（
） A． B． C． D．
=10，
=
．
第6页（共21页）
【分析】先求出基本事件总数n=3×4=12，再求出函数f（x）=ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数满足条件的基本事件个数，由此能求出函数f（x）=ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数的概率．
【解答】解：∵a∈{0，1，2}，b∈{﹣1，1，3，5}， ∴基本事件总数n=3×4=12，
函数f（x）=ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数，
①当a=0时，f（x）=﹣2bx，符合条件的只有：（0，﹣1），即a=0，b=﹣1； ②当a≠0时，需要满足（2，1），共4种，
∴函数f（x）=ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数的概率是p=故选：A．
【点评】本题考查概率的求不地，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
5．（2017?红桥区模拟）从甲、乙、丙、丁四名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（
） A． B． C． D． 【分析】先求出基本事件总数n=
=6，再求出甲被选中包含听基本事件个数m=
．
，符合条件的有：（1，﹣1），（1，1），（2，﹣1），=3，由此能求出甲被选中的概率．
【解答】解：从甲、乙、丙、丁四名同学中选2人参加普法知识竞赛， 基本事件总数n==6，
=3， 甲被选中包含听基本事件个数m=∴甲被选中的概率为p=故选：D．
．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
第7页（共21页）
6．（2017?沈阳一模）将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是（
） A． B． C． D． 【分析】先求出基本事件总数n=
，再利用列举法求出“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”包含的基本事件个数，由此能求出“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率．
【解答】解：∵将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排， 基本事件总数n==4×3×2×1=24，
“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”包含的基本事件有： ABCD，CBAD，CDAB，DABC，DCBA，BADC，共6个， ∴“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率p=故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
7．（2017?梅州一模）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从这6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为（
）
A． B． C． D． 【分析】先求出基本事件总数n=含的基本事件个数m=率．
【解答】解：甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，
从这6名教师中任选2名， 基本事件总数n=
，
=6，
，再求出选出的2名教师来自同一学校包
．
=6，由此能求出选出的2名教师来自同一学校的概选出的2名教师来自同一学校包含的基本事件个数m=
第8页（共21页）
选出的2名教师来自同一学校的概率为p==故选：D．
．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
8．（2017?北京模拟）在“二十四节气入选非遗”宣传活动中，从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律，那么甲同学被选中的概率为（
） A．1 B． C． D．
=3，再求出甲同学被选中包含听基本事件个【分析】先求出基本事件总数n=数m==2，由此能求出甲同学被选中的概率．
【解答】解：在“二十四节气入选非遗”宣传活动中，从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律， 基本事件总数n==3，
=2， 甲同学被选中包含听基本事件个数m=∴甲同学被选中的概率p==． 故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
9．（2017?南平一模）甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（
） A． B． C． D．
【分析】甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，先列举出所有不同的送法，再从中找到甲、乙将贺年卡送给同一人的送法．由此能求出甲、乙将贺年卡送给同一人的概率．
【解答】解：甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，
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不同的送法有四种：甲送丙，乙送丙；甲送丙，乙送丁；甲送丁，乙送丙；甲送丁，乙送丁．
甲、乙将贺年卡送给同一人的送法有两种：甲送丙，乙送丙；甲送丁，乙 送丁． ∴甲、乙将贺年卡送给同一人的概率p=故选A．
【点评】本题考查列举法计算基本事件发生的概率，解题时要熟练掌握列举方法，列举时要注意既不能重复，又不能遗漏．
10．（2017?清新区校级一模）从4，5，6，7，8这5个数中任取两个数，则所取两个数之积能被3整除概率是（
） A． B． C． D．
，再求出所取两个数之积能被3整除包含
．
【分析】先求出基本事件总数n=的基本事件个数m=
=4，由此能求出所取两个数之积能被3整除概率．
【解答】解：从4，5，6，7，8这5个数中任取两个数， 基本事件总数n=
，
=4， 所取两个数之积能被3整除包含听基本事件个数m=∴所取两个数之积能被3整除概率p=故选：A．
．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
11．（2017?河西区模拟）从1，2，3，4，5这五个数中，任取两个不同的数，则这两个数之和为3或6的概率为（
） A． B． C．
D．
【分析】列举可得总的基本事件共10个，符合题意得有3个，由概率公式可得． 【解答】解：从1，2，3，4，5这五个数中，任取两个不同的数由如下10中情形：
第10页（共21页）
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4）， （2，5），（3，4），（3，5），（4，5），
其中这两个数之和为3或6的共有（1，2），（1，5），（2，4），3中情形， 故所求概率：P=故选：A
【点评】本题考查列举法计算基本事件属和事件发生的概率，属基础题．
12．（2017?九江二模）若a，b∈{﹣1，1，2，3}，则直线ax+by=0与圆x2+（y+2）2
=2有交点的概率为（
）
C． D．
A． B．【分析】先求了基本事件总数n=4×4=16，直线ax+by=0与圆x2+（y+2）2=2有交点，即圆心（0，﹣2）到直线ax+by=0的距离d=
≤
，即a2≥b2，由此列举出直线ax+by=0与圆x2+（y+2）2=2有交点包含的基本事件个数，由此能求出直线ax+by=0与圆x2+（y+2）2=2有交点的概率． 【解答】解：∵a，b∈{﹣1，1，2，3}， ∴基本事件总数n=4×4=16，
∵直线ax+by=0与圆x2+（y+2）2=2有交点， ∴圆心（0，﹣2）到直线ax+by=0的距离d=
≤
，即a2≥b2，
∴线ax+by=0与圆x2+（y+2）2=2有交点包含的基本事件（a，b）有：
（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，1），（1，﹣1），（2，﹣1），（2，1），（2，2），（3，﹣1），（3，1），（3，2），（3，3）， 共有11个，
∴直线ax+by=0与圆x2+（y+2）2=2有交点的概率为p=故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
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．
13．（2017?西陵区校级模拟）袋中有大小，形状相同的红球，黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸出一个球．若摸到红球得2分，摸到黑球得1分，则3次摸球所得总分为5分的概率是（
） A． B． C． D．
【分析】基本事件总数n=23=8，3次摸球所得总分为5分包含的基本事件个数m==3，由此能求出3次摸球所得总分为5分的概率．
【解答】解：袋中有大小，形状相同的红球，黑球各一个， 现有放回地随机摸取3次，每次摸出一个球． 基本事件总数n=23=8，
摸到红球得2分，摸到黑球得1分，
3次摸球所得总分为5分包含的基本事件个数m=∴3次摸球所得总分为5分的概率p=． 故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
14．（2017?唐山一模）甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个1元，一个5元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为（
） A． B． C． D． 【分析】基本事件总数n=
=6，利用列举法求出甲、乙的红包金额不相等包含
=3，
的基本事件个数，由此能求出甲、乙的红包金额不相等的概率． 【解答】解：甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包， 金额为三个1元，一个5元， 基本事件总数n==6，
甲、乙的红包金额不相等包含的基本事件有： 甲、乙的红包金额分别为（1，5），（5，1）， ∴甲、乙的红包金额不相等的概率为p==．
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故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
15．（2017?马鞍山一模）从正五边形的5个顶点中随机选择3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是（
） A． B． C． D．
【分析】从正六边形的6个顶点中随机选择3个顶点，选择方法有
种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的三角形是直角三角形的方法种数，求比值即可
【解答】解：从正五边形的5个顶点中随机选择3个顶点， 基本事件总数为n=
=10，
它们作为顶点的三角形是锐角三角形的方法种数为5， ∴以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是p=故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
16．（2017?大庆二模）男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，则其中女生人数是（
）
．
A．2人 B．3人 C．2人或3人 D．4人
【分析】设女生人数是x人，则男生（8﹣x）人，利用从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为
，可得
=
，即可得出结论．
【解答】解：设女生人数是x人，则男生（8﹣x）人， ∵从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为
，
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∴=，
∴x=2或3， 故选C．
【点评】本题考查古典概型，考查概率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
17．（2016?新课标Ⅰ）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（
） A． B． C． D．
【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论． 【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有
=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=． 故选：C．
【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
18．（2016?天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（
） A． B． C． D．
【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．
【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件． ∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P=+=． 故选：A．
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【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题．
19．（2016?宿州一模）从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期
六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（
） A． B． C． D．
【分析】试验包含的所有事件是从4个人安排两人，共12种，其中事件“星期六安排一名男生、星期日安排一名女生”包含4种，再由概率公式得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的所有事件是从4个人安排两人，总共有C42A22=12种． 其中期六安排一名男生、星期日安排一名女生，总共有C21C21=4种， ∴其中至少有1名女生的概率P=． 故选：A
【点评】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体．
20．（2016?马鞍山一模）某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（
） A． B． C．
D．
【分析】试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，利用列举法求出满足条件的事件包含的基本事件个数，根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率． 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果， 满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上， 当x=1，y=1，x=2，y=3；x=3，y=5，共有3种结果，
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∴根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率： P=．
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概率计算公式的合理运用．
21．（2016?宿州一模）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，则关于x的方程x2+2ax+b2=0有两个不相等的实根的概率是（
）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由分步计数原理可得a、b的情况数目，进而分析可得若方程x2+2ax+b2=0有实根，则△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2，列举可得a2≥b2的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，a是从集合{1，2，3，4，5}中随机抽取的一个数，a有5种情况，
b是从集合{1，2，3}中随机抽取的一个数，b有3种情况，则方程x2+2ax+b2=0有3×5=15种情况，
若方程x2+2ax+b2=0有实根，则△=（2a）2﹣4b2＞0，即a＞b， 此时有，，
，
，
，
，
，
，
共9种情况；
则方程x2+2ax+b2=0有实根的概率P=故选C
【点评】本题考查等可能事件的概率计算，解题的关键是根据一元二次方程有根的充要条件分析出方程x2+2ax+b2=0有实根的情况数目
22．（2016?天津校级模拟）从集合{2，3，4，，}中取两个不同的数a，b，则logab＞0的概率为（
）
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=
A． B． C． D．
【分析】列举出从集合{2，3，4，，}中取两个不同的数a，b的所有基本事件总数，及logab＞0的事件个数，代入古典概型概率计算公式可得答案． 【解答】解：从集合{2，3，4，，}中取两个不同的数a，b， 共有=10种不同情况，
+
=1+3=4种情况， 其中满足logab＞0有故logab＞0的概率P=故选：C
=，
【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．
23．（2016?黄山一模）从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（
） A． B． C． D．
【分析】首先列举出所有可能的基本事件，再找到满足取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件，最后利用概率公式计算即可．
【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，
取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个， 故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=故选：A．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．
24．（2017?泰安一模）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+3）与
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．
圆x2+y2=1相交的概率为（
） A． B． C．
D．
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求． 【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为（0，0） 圆心到直线y=k（x+3）的距离为
要使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交，则
＜1，解得﹣＜k＜．
∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为=．
故选：C．
【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．
25．（2017?自贡模拟）在区间[﹣1，3]内任取一个实数x满足log2（x﹣1）＞0的概率是（
）
A． B． C． D．
【分析】求出不等式的解集，根据（2，3]和[﹣1，3]的长度之比求出满足条件的概率即可．
【解答】解：由log2（x﹣1）＞0，解得：x＞2， 故满足条件的概率是p=， 故选：C．
【点评】本题考查了几何概型问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．
26．（2017?江门一模）ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为2的正方体，AC
1、BD1相交于O，在正方体内（含正方体表面）随机取一点M，OM≤1的概率p=（
）
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A． B． C． D．
【分析】由题意可得概率为体积之比，分别求正方体的体积和球的体积可得． 【解答】解：由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积23=8， 满足OM≤1的基本事件为O为球心1为半径的球内部在正方体中的部分，其体积为V=π×13=π，
故概率P=故选：A． =．
【点评】本题考查几何概型，涉及正方体和球的体积公式，属基础题．
27．（2017?江西一模）向面积为S的平行四边形ABCD中任投一点M，则△MCD的面积小于的概率为（
） A． B． C． D．
【分析】先求出△MCD的面积等于时，对应的位置，然后根据几何概型的概率公式求相应的面积，即可得到结论
【解答】解：设△MCD的高为ME，ME的反向延长线交AB于F，当“△MCD的面积等于”时，
即ME
，过M作GH∥AB，则满足△MCD的面积小于的点在?CDGH中，由几何概型的个数得到△MCD的面积小于的概率为故选C． ；
【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据面积之间的关系是解决本题的关键．
28．（2017?宁德一模）若在区间[0，e]内随机取一个数x，则代表数x的点到区间两端点距离均大于的概率为（
）
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A． B． C． D．
【分析】根据几何概型计算公式，用区间[e，e]的长度除以区间[0，e]的长度，即可得到本题的概率．
【解答】解：解：∵区间[0，e]的长度为e﹣0=e，x的点到区间两端点距离均大于，长度为，
∴在区间[0，e]内随机取一个数x，则代表数x的点到区间两端点距离均大于的概率为P= 故选：C
【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
29．（2017?和平区模拟）在区间[﹣2，3]上随机取一个数x，则x∈[﹣1，1]的概率是（
）
A． B． C． D．
【分析】本题利用几何概型求概率，再利用解得的区间长度与区间[﹣2，3]的长度求比值即得．
【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度， ∴﹣1≤x≤1的概率为： P（﹣1≤x≤1）=故选：B．
【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
30．（2017?清城区校级一模）在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段AB两端点的距离都大于1m的概率等于（
）
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=，
A． B． C． D．
【分析】求得满足条件的线段的长度，利用线段的长度比求概率． 【解答】解：在线段AB上取两点C，D，使得AC=BD=1，
则当P在线段CD上时，点P与线段两端点A、B的距离都大于1m， CD=3﹣2=1， ∴所求概率P=故选：D．
【点评】本题考查了几何概型的概率计算，利用线段的长度比求概率是几何概型概率计算的常用方法． =．
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几何概型教案模板共4
响水二中高三数学（理）一轮复习
教案 第十一编 概率统计 主备人 张灵芝 总第59期
§ 几何概型
基础自测
1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间 ［0，1］上的概率为 .答案 12
2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为 .
（第2题） （第5题）
答案 2?
3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是 .答案 35
4.设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P（A）= .答案 13
5.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在 ∠yOT内的概率为 .答案 16
例题精讲
例1 有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？
解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4 （米）.在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，所以P（A）=
10?3?310=
410=例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再
376 交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问： （1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ （2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
解 （1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm和9 cm的正方形围成的区域内，所以概率为92?7922=3281.
14（2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为
?92??81.例3 （14分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病 种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？ 解 1升=1 000毫升，
1分 3分 7分 记事件A：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”.则P（A）==，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为
记事件B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.则P（B）=
9分 14分 =，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为
例4 在Rt△ABC中，∠A=30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率.解 设事件D“作射线CM，使|AM|＞|AC|”.在AB上取点C′使|AC′|=|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，
180?所以∠ACC′=??302?=75°,
1590A=90-75=15，?Ω=90，所以，P（D）=
=
16.例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离 去.求两人能会面的概率.解 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得： P（A）= SAS=602?4522=3600?=
716. 所以，两人能会面的概率是716.巩固练习
1.如图所示，A、B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？
解 记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30×∴P（E）==10 （米），
=（2008·江苏，6）在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为 .答案 ?16
3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.
解 记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.∵?A=升，?Ω=2升，∴由几何概型求概率的公式，得P（A）=
?A?Ω=
=
120=在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于 30°的概率.解 如图所示，把圆弧 三等分，则∠AOF=∠BOE=30°，记A为 “在扇形AOB内作一射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°” ，要使∠AOC和∠BOC都不小于30°， 则OC就落在∠EOF内， ∴P（A）=
3090??=
5.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.解 设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y.则试验的全部结果可构成集合Ω={（x，y）|0＜x＜l,0＜y＜l,0＜x+y＜l}, 要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y＞l-x-y?x+y＞y＜??l2,x+l-x-y＞y
?l2,y+l-x-y＞x?x＜l2l2l2.故所求结果构成集合
l??2?A=?(x,y)|x?y?,y?,x?.由图可知，所求概率为
1P（A）=A的面积Ω的面积=?l????2?2?l22=回顾总结
知识 方法 思想
课后作业
一、填空题
1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17＜a＜20的概率是 .答案 310
2.在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36?平方厘米到64?平方厘米的概率是 .
答案 15
3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是 .答案 116
4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为 .
379 （第4题） (第7题) 答案 1-2
?
S45.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于答案 34的概率是 .
6.已知正方体ABCD—A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD—A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是 .答案 ?6
7.已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为 . 答案 33 8.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于答案 ”的概率为 .
二、解答题
9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm，靶心直径 cm,运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率.解 记“射中黄心”为事件A，由于中靶点随机的落在面积为的大圆内，而当中靶点在面积为142
2
14?×122 cm
22
?× cm的黄心时，事件A发生，
于是事件A发生的概率
1P（A）=414????1222=,所以射中“黄心”的概率为假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
380 解 设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y,而（x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，
?A=1-212×12×12=78，?Ω =1，所以P（A）=
?A?Ω=
已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°.（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM＜30°的概率； （2）在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM＜30°的概率.解 （1）设CM=x，则0＜x＜a.（不妨设BC=a）.33若∠CAM＜30°,则0＜x＜?3?区间?0，a?的长度??3??区间(0,a)的长度a,故∠CAM＜30°的概率为
P（A）==33.（2）设∠CAM=?，则0°＜?＜45°.若∠CAM＜30°,则0°＜?＜30°, 故∠CAM＜30°的概率为P（B）=2
(0,30)的长度(0，45)的长度???=
设关于x的一元二次方程x+2ax+b=0.（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a是从区间［0，3］任取的一个数，b是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.解 设事件A为“方程x+2ax+b=0有实根”.当a≥0,b≥0时，方程x+2ax+b=0有实根的充要条件为a≥b.（1）基本事件共有12个：
（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1）， （3，2）.其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.
381 2222
2事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P（A）=
912=
34.（2）试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.构成事件A的区域为
123?2??22{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.所以所求的概率为P(A)=
3?2=
23.
382
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